如圖1,在△ABC中,∠ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖2,線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為_(kāi)_____,線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____;
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是銳角,點(diǎn)D在線段BC上,當(dāng)∠ACB滿足什么條件時(shí),CF⊥BC(點(diǎn)C、F不重合),并說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD,∠ACF=∠ABD.結(jié)合∠BAC=90°,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度.即CF⊥BD.
(2)當(dāng)∠ACB=45°時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,則∠GAC=90°,可推出∠ACB=∠AGC,所以AC=AG,由(1)①可知CF⊥BD.
解答:證明:(1)①結(jié)合∠BAC=90°,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度.即CF⊥BD.當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD.
②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.
由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90度.
∵∠BAC=90°,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACF=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度.
即CF⊥BD.

(2)當(dāng)∠ACB=45°時(shí),CF⊥BD(如圖).
理由:過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
則∠GAC=90°,
∵∠ACB=45°,∠AGC=90°-∠ACB,
∴∠AGC=90°-45°=45°,
∴∠ACB=∠AGC=45°,
∴AC=AG,
∵∠DAG=∠FAC(同角的余角相等),AD=AF,
∴△GAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AGC=45°,
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即CF⊥BC.
點(diǎn)評(píng):本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定,判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定兩個(gè)三角形全等,先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形,然后再根據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn).以BD為直徑作圓O,交邊AB于點(diǎn)P,連接PC,交AD于點(diǎn)E.
(1)求證:AD是圓O的切線;
(2)當(dāng)∠BAC=90°時(shí),求證:
PE
CE
=
1
2
;
(3)如圖2,當(dāng)PC是圓O的切線,E為AD中點(diǎn),BC=8,求AD的長(zhǎng).精英家教網(wǎng)

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我們給出如下定義:有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出一個(gè)你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;
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(3)如圖2,若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部,(2)中的其他條件不變,EF與CD交于點(diǎn)H,圖中是否存在等鄰角四邊形,若存在,指出是哪個(gè)四邊形,不必證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)精英家教網(wǎng)明理由.

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(1)已知:如圖1,在四邊形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求證:AB+AC>
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如圖1,AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線,點(diǎn)D是垂足,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),規(guī)定:λA=
DE
BD
.如圖2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

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如圖1,在△ABC中,∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O.
(1)求證:∠AOC=90°+
12
∠ABC;
(2)當(dāng)∠ABC=90°時(shí),且AO=3OD(如圖2),判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

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