Question

【題目】如圖,在菱形ABCD中，sinD=,E、F分別是AB,CD上的點(diǎn)，BC=5，AE=CF=2，點(diǎn)P是線段EF上一點(diǎn)，則當(dāng)△BPC時直角三角形時，CP的長為____________

Answer 1

【答案】4或或

【解析】根據(jù)∠D的正弦求出以AD為斜邊的直角三角形的兩直角邊分別為3、4，然后以DC所在的直線為x軸，點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平方可知點(diǎn)P為菱形的對角線的交點(diǎn)時∠BPC=90°，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時∠BPC=90°；∠BCP=90°時寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線OE、BC的解析式，再求出CP的解析式，然后聯(lián)立直線OE、CP的解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出CP．

∵sin∠D=，菱形邊AD=BC=5，

∴以AD為斜邊的直角三角形的兩直角邊分別為3、4

如圖，以DC所在的直線為x軸，點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD，

∴點(diǎn)P為菱形的對角線的交點(diǎn)時∠BPC=90°，

此時，CP=AC=×，

點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時∠BPC=90°，

此時，CP=4；

∠BCP=90°時，由圖可知，點(diǎn)B（5，4）、C（2，0），

易求直線OE的解析式為y=2x，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

則，

解得，

所以，直線BC的解析式為y=x-，

∵CP⊥BC，

∴設(shè)直線CP的解析式為y=-x+c，

將點(diǎn)C（2，0）代入得，-×2+c=0，

解得c=，

所以，直線CP的解析式為y=-x+，

聯(lián)立，解得，

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

此時，CP=，

綜上所述，當(dāng)△BPC是直角三角形時，CP的長為或4或．

故答案為：或4或．