Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過A（4，0），B（1，0）兩點(diǎn)．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）若拋物線與直線y=

1

2

x+c有交點(diǎn)時(shí)，求c的取值范圍；
（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）本題需先根據(jù)圖象過A，B兩點(diǎn)，即可得出解析式．
（2）拋物線與直線有交點(diǎn)，聯(lián)立兩直線方程求解，△≥0，即可求得c的取值范圍．
（3）本題首先判斷出存在，首先設(shè)出橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，從而得出PA的解析式，再分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

時(shí)和當(dāng)

AM

PM

=

AO

OC

=

1

2

時(shí)，得出△APM∽△ACO△APM∽△CAO，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將A（4，0），B（1，0）的坐標(biāo)代入y=ax²+bx-2得

16a+4b-2=0 a+b-2=0

，
解得

a=- 1 2 b= 5 2

，
故此拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）

y= 1 2 x+c y=- 1 2 x2+ 5 2 x-2

 有交點(diǎn)，
即

1

2

x+c=-

1

2

x²+

5

2

x-2，化簡為

1

2

x²-2x+2+c=0，
△≥0，即2²-4×

1

2

×（2+c）≥0，
解得c≤0．

（3）存在．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P的縱坐標(biāo)為-

1

2

m²+

5

2

m-2，
AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當(dāng)

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

時(shí)，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2）
解得：m₁=2，m₂=4（舍去），
則P（2，1），
②當(dāng)

AM

PM

=

AO

OC

=

1

2

時(shí)，
△APM∽△CAO，
即2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
解得：m₁=4，m₂=5（均不合題意，舍去），
故符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線解析式的求法，兩曲線相交轉(zhuǎn)化為根判別式求解，拋物線與相似三角形的問題，綜合性較強(qiáng)，是一道好題．