Question

如圖，M、N為直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M在N的左側(cè)），點(diǎn)A為直線l外一點(diǎn)，且到直線l的距離為6，∠MAN=45°．
（1）當(dāng)AM=AN時(shí)，求MN的長；
（2）當(dāng)AM≠AN時(shí)，作AB⊥l，垂足為B．若BM=2，求MN的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）如圖，過點(diǎn)A作AB⊥MN于點(diǎn)B，過點(diǎn)M作MH⊥AN于點(diǎn)H．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)、面積法求得AN²=6

2

MN．
然后在Rt△ABN中，利用勾股定理可以列出關(guān)于MN的方程，通過解方程求得MN的值；
（2）需要分類討論：點(diǎn)B在點(diǎn)M的左側(cè)和右側(cè)兩種情況．以點(diǎn)B在點(diǎn)M的右側(cè)為例進(jìn)行分析：通過相似三角形△MNH∽△ANB的對應(yīng)邊成比例得到

MN

AN

=

MH

AB

，在直角△ABM中，由勾股定理知AM=2

10

，則MH=

2

2

AM=2

5

，所以把相關(guān)線段的長度代入比例式求得BN=

5

3

AN-2．然后在Rt△ABN中，根據(jù)勾股定理得到：
36+（

5

3

AN-2）²=AN²．易求AN、BN的值．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AB⊥MN于點(diǎn)B，過點(diǎn)M作MH⊥AN于點(diǎn)H．
在Rt△MAH中，∠A=45°，
∴MH=

2

2

AM=

2

2

AN．
∵

1

2

MN•AB=

1

2

AN•MH，
∴6MN=AN•

2

2

AN，即AN²=6

2

MN．
在Rt△ABN中，AB²+BN²=AN²，36+（

MN

2

）²=AN² 
即36+（

MN

2

）²=6

2

MN
∴MN ₁=12

2

+12（舍去），MN ₂=12

2

-12；
                    
（2）如圖①所示，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)M右側(cè)時(shí)．易證△MNH∽△ANB．
∴

MN

AN

=

MH

AB

，
∴MN•AB=AN•MH，即6MN=AN•MH．
又∵M(jìn)B=2，AB=6，
∴AM=

22+62

=2

10

∴MH=

2

2

AM=2

5

，
∴6MN=2

5

AN，
∴6（2+BN）=2

5

AN．
∴BN=

5

3

AN-2．
又∵在Rt△ABN中，AB²+BN²=AN²．
即 36+（

5

3

AN-2）²=AN²．
解得：AN=3

5

，
∴BN=

5

3

AN-2=3．
∴MN=2+3=5．

如圖②所示，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)M左側(cè)時(shí)．
易證△MNH∽△ANB，
∴

MN

AN

=

MH

AB

．
∴MN•AB=AN•MH，即6MN=AN•MH．
∵M(jìn)B=2，AB=6，
∴AM=

22+62

=2

10

，
∴MH=

2

2

AM=2

5

，
∴6MN=2

5

AN，∴6（BN-2）=2

5

AN，
∴BN=

5

3

AN+2．
又∵在Rt△ABN中，AB²+BN²=AN²，即36+（

5

3

AN-2）²=AN²．
解得AN=6

5

．
∴BN=

5

3

AN+2=12，
∴MN=12-2=10．
綜上：若BM=2，MN=10或5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似綜合題．此題難度較大，需要學(xué)生對相似三角形知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．本題也可作∠BAC=45°，利用全等、相似，進(jìn)而求解．