Question

【題目】如圖，射線AB∥射線CD，∠CAB與∠ACD的平分線交于點E，AC＝4，點P是射線AB上的一動點，連結PE并延長交射線CD于點Q．給出下列結論：①△ACE是直角三角形；②S四邊形APQC＝2S△ACE；③設AP＝x，CQ＝y，則y關于x的函數表達式是y＝﹣x+4（0≤x≤4），其中正確的是（　�。�

A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③

Answer 1

【答案】A

【解析】

①正確．由AB∥CD，推出∠BAC+∠DCA=180°，由∠ACE=∠DCA，∠CAE=∠BAC，即可推出∠ACE+∠CAE=（∠DCA+∠BAC）=90°，延長即可解決問題;
②正確．首先證明AC=AK，再證明△QCE≌△PKE，即可解決問題;
③正確．只要證明AP+CQ=AC即可解決問題．

解：如圖延長CE交AB于K．

∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°，
∵∠ACE=∠DCA，∠CAE=∠BAC，
∴∠ACE+∠CAE=（∠DCA+∠BAC）=90°，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CK，△AEC是直角三角形，故①正確，
∵∠QCK=∠AKC=∠ACK，
∴AC=AK，
∵AE⊥CK，
∴CE=EK，
在△QCE和△PKE中，

，
∴△QCE≌△PKE，
∴CQ=PK，S△QCE=S△PEK，
∴S四邊形APQC=S△ACK=2S△ACE，故②正確，
∵AP=x，CQ=y，AC=4，
∴AP+CQ=AP+PK=AK=AC，
∴x+y=4，
∴y=-x+4（0≤x≤4），故③正確，
故選：A．