Question

2．在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D
（1）若AB=8，AC=6，BC=10，求AD的長．
（2）若AD²=BD×CD，你能判斷△ABC的形狀嗎？

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，根據(jù)AB²+AC²=8²+6²=100=10²=BC²，于是得到∠CAB=90°，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)AD²=BD×CD，得到$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，由于∠ADC=∠ADB=90°，證得△ACD∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠CAD=∠B，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）在△ABC中，∵AB=8，AC=6，BC=10，
∴AB²+AC²=8²+6²=100=10²=BC²，
∴∠CAB=90°，
∵AD⊥BC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB=$\frac{1}{2}$BC•AD，
∴AD=$\frac{AC•AB}{BC}$=$\frac{24}{5}$；

（2）△ABC是直角三角形，
∵AD²=BD×CD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴△ACD∽△ABD，
∴∠CAD=∠B，
∵∠B+∠BAD=90°，
∴∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠CAB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．