Question

如圖1，⊙O的直徑CD=4，AD⊥DC，BC⊥DC，AD=2，BC=6，P是⊙O上的一個動點(diǎn)．
（1）記△APB的面積為S，求S的取值范圍；
（2）在圖2中，∠APB的大小是不斷變化的，用語言描述當(dāng)∠APB最大和最小時P點(diǎn)的位置（也可以附帶作出大致的圖形，在圖形上標(biāo)出P點(diǎn)的大致位置，不必說明理由）．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接AO交⊙O于P₁，P₂，作AE⊥BC于E，如圖1，由OD=AD=2，AD⊥DC可判斷△OAD為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=2

2

，∠OAD=45°，再證明四邊形ADCE為矩形，得到AE=CD=4，CE=AD=2，則BE=BC-CE=4，又可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以AB=

2

BE=4

2

，∠BAE=45°，由于∠DAE=90°，則∠OAE=45°，于是得到∠OAB=∠BAE+∠OAE=90°，即OA⊥AB，根據(jù)與圓有關(guān)的性質(zhì)得到P₁點(diǎn)到AB的距離最小，則根據(jù)三角形面積公式得到S最小，可計(jì)算S的最小值為8-4

2

；P₂點(diǎn)到AB的距離最大，S最大，可計(jì)算S的最大值為8+4

2

；∴S的取值范圍為8-4

2

≤S≤8+4

2

；
（2）過A、B兩點(diǎn)⊙M與⊙O外切于P點(diǎn)時，∠APB最大，因?yàn)槌�切點(diǎn)外，∠APB為⊙M的圓外角；過A、B兩點(diǎn)的⊙N與⊙O內(nèi)切于P點(diǎn)時，∠APB最小，因?yàn)槌�切點(diǎn)外，∠APB為⊙N的圓內(nèi)角．

解答：解：（1）連接AO交⊙O于P₁，P₂，作AE⊥BC于E，如圖1，
∵OD=AD=2，AD⊥DC，
∴△OAD為等腰直角三角形，
∴OA=

2

OD=2

2

，∠OAD=45°，
∵BC⊥CD，AE⊥BC，
∴四邊形ADCE為矩形，
∴AE=CD=4，CE=AD=2，BE=BC-CE=6-2=4，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴AB=

2

BE=4

2

，∠BAE=45°，
而∠DAE=90°，
∴∠OAE=45°，
∴∠OAB=∠BAE+∠OAE=90°，
∴OA⊥AB，
∴P₁點(diǎn)到AB的距離最小，S最小，AP₁=OA-OP₁=2

2

-2，則S的最小值=

1

2

×4

2

×（2

2

-2）=8-4

2

；
P₂點(diǎn)到AB的距離最大，S最大，AP₂=OA+OP₂=2

2

+2，則S的最大值=

1

2

×4

2

×（2

2

+2）=8+4

2

；
∴S的取值范圍為8-4

2

≤S≤8+4

2

；

（2）過A、B兩點(diǎn)⊙M與⊙O外切于P點(diǎn)時，∠APB最大；過A、B兩點(diǎn)的⊙N與⊙O內(nèi)切于P點(diǎn)時，∠APB最小，如圖2．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)、圓周角定理和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．