Question

如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P滿足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD．
求證：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC．

Answer 1

（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．
∴△APD是等邊三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
分析：（1）AP=AB，PB=PC，∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP，因此可證得兩三角形全等．
（2）有（1）∠CAD=45°，△PAD為等邊三角形，可求得∠BAP=30°∠PAC=∠PAD-∠CAD=15°，因此可證的結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查全等三角形的證明，要熟練掌握幾種判定方法，根據(jù)條件選擇合適的判定方法．本題是用角度證明2倍角關(guān)系，有時候也可用角平分線或等角轉(zhuǎn)移來證明．