Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B，連結(jié)OA，二次函數(shù)y=x2圖象從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．

（1）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，線段PB最短，并求出二次函數(shù)的表達(dá)式；

（3）當(dāng)線段PB最短時(shí)，二次函數(shù)的圖象是否過(guò)點(diǎn)Q（a，a﹣1），并說(shuō)理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x；（2）y=（x﹣1）2+2；（3）二次函數(shù)的圖象不過(guò)點(diǎn)Q．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；

（2）根據(jù)題意得到頂點(diǎn)M（m，2m），根據(jù)平移的性質(zhì)和頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的解析式為y=（x﹣m）2+2m，把x=2代入解析式求得P的縱坐標(biāo)，即可求得PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)m=1時(shí)，PB最短，即可求得當(dāng)PB最短時(shí)，拋物線的解析式為y=（x﹣1）2+2；

（3）若二次函數(shù)的圖象是過(guò)點(diǎn)Q（a，a﹣1），代入解析式得到方程a﹣1=（a﹣1）2+2，由于△＜0，此方程無(wú)解，說(shuō)明此二次函數(shù)的圖象不過(guò)點(diǎn)Q．

解：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，

∵A（2，4），

∴2k=4，解得k=2，

∴線段OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x；

（2）∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在OA上移動(dòng)，

∴y=2m（0≤m≤2），

∴M（m，2m），

∴拋物線的解析式為y=（x﹣m）2+2m，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2），

∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2），

∴當(dāng)m=1時(shí)，PB最短，

當(dāng)PB最短時(shí)，拋物線的解析式為y=（x﹣1）2+2；

（3）若二次函數(shù)的圖象是過(guò)點(diǎn)Q（a，a﹣1）

則方程a﹣1=（a﹣1）2+2有解．

即方程a2﹣3a+4=0有解，

∵△=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0．

∴二次函數(shù)的圖象不過(guò)點(diǎn)Q．