Question

在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB，D為AO上一點，過點D作CD的垂線，過B點作BC的垂線，兩垂線交于的G，過G作GH⊥AB，求證：CO=DH．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,解直角三角形

專題：證明題

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得CO=AO=BO，根據(jù)等角的正切值相等，可得

b

a

=

a+b-x

x

，可得OD=BH=GH，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．

解答：證明：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴CO=AO=BO．
∵GD⊥CD，GB⊥BC，GH⊥AB，CO⊥AB，
∴∠OBC=∠GBH═45°=∠BGH．
∵GH=BH，
∴∠CDG=∠CBG=∠GHD=90°，
∴∠DCO∠=GDH，
∴tan∠DCO=tan∠GDH．
設(shè)CO=AO=BO=a；OD=b，BH=GH=x，
∴tan∠DCO=

CD

CO

=

b

a

，
tan∠DCH=

GH

DH

=

OD+OB-BH

GH

=

a+b-x

x

，
∴

b

a

=

a+b-x

x

，
bx=a（a+b）-ax，
∴（a+b）x=a（a+b）
x=a，
即：OD=BH=GH
在Rt△DOC和Rt△GHD中，

∠DCO=∠GDH ∠DOC=∠GHD=90° OD=GH

，
∴△DOC≌△GHD（AAS），
∴CO=DH．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，等角的正切值相等，全等三角形的判定與性質(zhì)．