Question

9．設m是不小于-1的實數，使得關于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0有兩個實數根x₁，x₂．
（1）若x₁²+x₂²=2，求m的值；
（2）代數式$\frac{m{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{m{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$有無最大值？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用判別式的意義得到△=4（m-2）²-4（m²-3m+3）≥0，解得m≤1，加上m是不小于-1的實數，則-1≤m≤1，再根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，接著利用完全平方公式得（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，則4（m-2）²-2（m²-3m+3）=2，然后解方程即可得到滿足條件的m的值；
（2）先通分，再把x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3整體代入得到代數式為-2m+2，然后根據m的取值范圍，利用一次函數的性質確定代數式的最大值．

解答 解：（1）根據題意得△=4（m-2）²-4（m²-3m+3）≥0，解得m≤1，
∵m是不小于-1的實數
∴-1≤m≤1，
x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，
∵x₁²+x₂²=2，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，
∴4（m-2）²-2（m²-3m+3）=2，
整理得m²-5m+4=0，解得m₁=1，m₂=4（舍去），
∴m的值為1；
（2）代數式有最大值．理由如下：
$\frac{m{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{m{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=m•$\frac{{x}_{1}-{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}-{x}_{1}{x}_{2}}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$=m•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=m•$\frac{-2（m-2）-2（{m}^{2}-3m+3）}{1+2（m-2）+{m}^{2}-3m+3}$=-2m+2，
∴-1≤m≤1且m≠0，m≠1，
∴當m=-1時，代數式的值最大，最大值為4．

點評 本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．