Question

⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過(guò)點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，AE⊥DC交DC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC是∠EAB的平分線；
（2）若圓的半徑為3，BD=2，DC=4，求AE和BC．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵ED為圓O的切線，
∴OC⊥ED，
又AE⊥ED，
∴OC∥EA，
∴∠EAC=∠ACO，
又OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，
∴∠EAC=∠OAC，即AC是∠EAB的平分線；

（2）解：∵OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，∠COD=∠EAD，
∴△OCD∽△DEA，
∴=，即=，
解得：AE=，
∵CD=4，BD=2，AD=8，
即CD²=BD•AD，且?jiàn)A角∠D為公共角，
∴△BCD∽△ACD，且相似比==，
∴=，即AC=2BC，
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
即4BC²+BC²=36，解得：BC=．
分析：（1）連接OC，由切線的性質(zhì)得到OC與ED垂直，又AE與ED垂直，得到OC與AE平行，由兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，由OA=OC，根據(jù)“等邊對(duì)等角”得到一對(duì)角相等，等量代換得證；
（2）由OC與AE平行，得到兩對(duì)同位角相等，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到三角形COD與三角形AED相似，根據(jù)相似得比例，由OC，OD及AD的長(zhǎng)即可求出AE的長(zhǎng)；由CD²=DB•AD，且?jiàn)A角∠D為公共角，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等得到兩三角形相似，且相似比為1：2，即可得到對(duì)應(yīng)邊BC：AC=1：2，即AC=2BC，由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到三角形ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查切線的性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)．遇到直線與圓相切，連接圓心與切點(diǎn)，是經(jīng)常連接的輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問(wèn)題．熟練掌握切線性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．