Question

如圖，直角梯形ABCD的腰BC所在直線的解析式為y=-

3

x-6

3

，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-4

3

），將直角梯形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到直角梯形OEFG（如圖1）．
（1）直接寫(xiě)出E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直角梯形OEFG的腰EF所在直線的解析式；
（2）將圖1中的直角梯形ABCD先沿x軸向右平移到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合的位置，再讓直角頂點(diǎn)A緊貼著EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移動(dòng)時(shí)，總保持著AB∥FG），當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合時(shí)，梯形ABCD停止移動(dòng)．觀察得知：在梯形ABCD移動(dòng)過(guò)程中，其腰BC始終經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．（如圖2）
①設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），梯形ABCD與梯形OEFG重合部分的面積為S，試求a與何值時(shí)，S的值恰好等于梯形OEFG面積的

5

16

；
②當(dāng)點(diǎn)A在EF上滑動(dòng)時(shí)，設(shè)AD與x軸的交點(diǎn)為M，試問(wèn)：在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAM是底角為30°的等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（利用圖3進(jìn)行探索）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)E（6，0），F(xiàn)（2，4

3

），利用待定系數(shù)法可求得EF所在直線的解析式；
（2）根據(jù)梯形OEFG的面積為

1

2

（2+6）•4

3

=16

3

，A（a，-

3

a+6

3

)，
由題意得S=(-

3

a+6

3

)•a，
若S的值為5

3

，則可得a²-6a+5=0，所以a₁=1，a₂=5，又a₁=1不合題意，舍去，取a=5，
可求得當(dāng)a=5時(shí)，S的值恰好等于梯形OEFG的面積的

5

16

；
（3）滿(mǎn)足條件的等腰△PAM的頂角應(yīng)為120°，分下列三種情況考慮：
①當(dāng)∠PAM為頂角時(shí)（如圖1），設(shè)AB交y軸于點(diǎn)Q，OM=x，利用Rt△PQA，Rt△POM中的有關(guān)角和線段可求得P₁（0，

18

5

3

）；
②當(dāng)∠PMA為頂角時(shí)，畫(huà)圖可知合條件的點(diǎn)P₂在y軸的負(fù)半軸上，可求P2(0，-

6

5

3

)；
③當(dāng)∠APM為頂角時(shí)（如圖2）過(guò)點(diǎn)P₃作P₃N⊥AM于點(diǎn)M，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，即P3(0，2

3

)，所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，

18

5

3

)，(0，-

6

5

3

)，(0，2

3

)．

解答：解：（1）E（6，0），F(xiàn)（2，4

3

），EF所在直線的解析式為y=-

3

x+6

3

．

（2）梯形OEFG的面積為

1

2

（2+6）•4

3

=16

3

，
∵點(diǎn)A（a，b）在直線EF上，
∴A（a，-

3

a+6

3

)，
由題意得S=(-

3

a+6

3

)•a，
若S的值為5

3

，則(-

3

a+6

3

)•a=5

3

，
(-

3

a+6

3

)•a=5

3

，
即a²-6a+5=0，∴a₁=1，a₂=5，
又a₁=1不合題意，舍去，取a=5；
∴當(dāng)a=5時(shí)，S的值恰好等于梯形OEFG的面積的

5

16

．

（3）顯然，滿(mǎn)足條件的等腰△PAM的頂角應(yīng)為120°，分下列三種情況考慮：
①當(dāng)∠PAM為頂角時(shí)（如圖1），設(shè)AB交y軸于點(diǎn)Q，OM=x，
∵點(diǎn)A在直線y=-

3

x+6

3

上，∴AM=-

3

x+6

3

，
在Rt△PQA中，∠PAQ=120°-90°=30°，
∴PQ=

1

2

AP=

1

2

AM；
∴OP=OQ+QP=

3

2

AM=

3

2

（-

3

x+6

3

），
在Rt△POM中，∠PMO=90°-30°=60°，
∴OP=OM•tan∠PMO=

3

x；
∴

3

2

（-

3

x+6

3

）=

3

x，x=

18

5

．
②當(dāng)∠PMA為頂角時(shí)，畫(huà)圖可知合條件的點(diǎn)P₂在y軸的負(fù)半軸上；
Rt△P₂OM中，∠P₂MO=120°-90°=30°，且OM仍為

18

5

；
∴OP2=OM•tan∠P2MO=

18

5

•tan30°=

18

5

•

3

3

=

6

5

3

，
即P2(0，-

6

5

3

)；
③當(dāng)∠APM為頂角時(shí)（如圖2）過(guò)點(diǎn)P₃作P₃N⊥AM于點(diǎn)M，
設(shè)OM=x，在Rt△P₃OM中，∠P₃MO=90°-30°=60°，
∴OP3=OM•tan∠P3MO=

3

x，
∴AM=2NM=2•OP3=2

3

x，
∴2

3

x=-

3

x+6

3

，x=2，
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4

3

)，即點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，∴OP3=2

3

，即P3(0，2

3

)，
由①，②，③得，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，

18

5

3

)，(0，-

6

5

3

)，(0，2

3

)．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．