Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：若存在過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l交⊙C于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，在P，A，B三點(diǎn)中，位于中間的點(diǎn)恰為以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)P為⊙C 的相鄰點(diǎn)，直線(xiàn)l為⊙C關(guān)于點(diǎn)P的相鄰線(xiàn)．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，

①分別判斷在點(diǎn)D（，），E（0，），F（4，0）中，是⊙O的相鄰點(diǎn)有__________；

②請(qǐng)從①中的答案中，任選一個(gè)相鄰點(diǎn)，在圖1中做出⊙O關(guān)于它的一條相鄰線(xiàn)，并說(shuō)明你的作圖過(guò)程．

③點(diǎn)P在直線(xiàn)上，若點(diǎn)P為⊙O的相鄰點(diǎn)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線(xiàn)與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M，N，若線(xiàn)段MN上存在⊙C的相鄰點(diǎn)P，直接寫(xiě)出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①點(diǎn)和點(diǎn)②見(jiàn)詳解③（2）

【解析】

（1）由相鄰點(diǎn)定義可知：在內(nèi)的點(diǎn)必為相鄰點(diǎn)；在外的點(diǎn)必須滿(mǎn)足，其中點(diǎn)是的中點(diǎn)且，因此若半徑為的有相鄰點(diǎn)，則的長(zhǎng)必須滿(mǎn)足且，分別求出、、到的距離即可判斷；求出直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為、，有前面的結(jié)論可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為：；

（2）根據(jù)（1）可知且，點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)，因此點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓內(nèi)，且不能以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，再根據(jù)點(diǎn)在軸上，即可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為：．

解：（1）由定義可知，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)時(shí)，由垂徑定理可知，點(diǎn)必為的相鄰點(diǎn)，此時(shí);

當(dāng)點(diǎn)在外時(shí)，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，如圖：

∵，

∴

∵

∴

∴

∴

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)

∴

∵的半徑為

∴

∴

∵是的弦

∴

∴

∴

∴

∴

∵點(diǎn)在外

∴

∴當(dāng)點(diǎn)在上，即時(shí)，不符合題意；

∴綜上所述，半徑為的，當(dāng)點(diǎn)與的距離滿(mǎn)足且時(shí)，點(diǎn)為的相鄰點(diǎn)．

①∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴點(diǎn)和點(diǎn)是的相鄰點(diǎn)；

②連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于、，如圖：

③如圖：

∵當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為、

∵點(diǎn)在直線(xiàn)上，且點(diǎn)是的相鄰點(diǎn)

∴，

∵點(diǎn)在外

∴

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為：；

（2）如圖：

∵當(dāng)時(shí)，

∴

∵當(dāng)時(shí)，

∴

∵點(diǎn)是半徑為的的相鄰點(diǎn)

∴且

∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓內(nèi)，且不能以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上

∵點(diǎn)在軸上

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為：．

故答案是：（1）①點(diǎn)和點(diǎn)②見(jiàn)詳解③（2）