Question

5．如圖拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，連接AB、AC，AB=2$\sqrt{13}$，tan∠ABC=$\frac{2}{3}$，S_△ABC=20．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D為x軸上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，交線段AB于點(diǎn)F．當(dāng)FD=FE時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P為射線AE上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP交y軸于點(diǎn)M，連接ME，并過點(diǎn)M作AE的平行線，過點(diǎn)E作ME的垂線，這兩條直線相交于點(diǎn)N．當(dāng)△MEN中有一個(gè)角的正切值為$\frac{1}{2}$時(shí)，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P是否在（1）中的拋物線上．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B、C坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)E（m，O），求出直線AB為y=-$\frac{2}{3}$x+4，根據(jù)DF=EF列出方程解決．
（3）設(shè)點(diǎn)M（0，b），求得直線ME為y=-$\frac{4}$x+b，直線EN為y=$\frac{4}$x-$\frac{16}$，解方程組得到點(diǎn)N坐標(biāo)，在圖1中利用△MOE∽△EGM得$\frac{ME}{NE}=\frac{OE}{GN}=\frac{1}{2}$，列出方程求出b，再求出直線CP與直線CE的交點(diǎn)即可，在圖2中，利用△MOE∽△EGN得$\frac{ME}{EN}=\frac{OE}{GN}$=2，列出方程求出b，再求出直線CP與直線CE的交點(diǎn)即可．

解答 解：（1）在RT△AOB中，∵AB=2$\sqrt{13}$，tan∠ABC=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AO}{BO}=\frac{2}{3}$，設(shè)AO=2k，OB=3k，則（2k）²+（3k）²=（2$\sqrt{13}$）²，K=2（或-2舍棄），
∴AO=4，OB=6，
∵S_△ABC=20．
∴$\frac{1}{2}$•BC•AO=10，
∴BC=10，
∴點(diǎn)C（-4，0），點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（6，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a-4b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{b=\frac{1}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x+4．
（2）如圖1中，設(shè)點(diǎn)E（m，O），直線AB為y=-$\frac{2}{3}$x+4，
∵DF=EF，
∴-$\frac{1}{6}$m²+$\frac{1}{3}$m+4-（-$\frac{2}{3}$m+4）=-$\frac{2}{3}$m+4，
∴m=4（或0舍棄），
∴點(diǎn)E（4，0）．
（3）①如圖1中，設(shè)點(diǎn)M（0，b），∵直線AE為y=-x+4，MN∥AE，
∴直線MN為y=-x+b，直線ME為y=-$\frac{4}$x+b，
∵EN⊥ME，
∴直線EN為y=$\frac{4}$x-$\frac{16}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{4}x-\frac{16}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{^{2}+16}{b+4}}\\{y=\frac{4b-16}{b+4}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)（$\frac{^{2}+16}{b+4}$，$\frac{4b-16}{b+4}$），作NG⊥OB垂足為G，由圖象可知EN＞EM，
∴tan∠EMN=$\frac{EN}{EM}$=2，
∵∠OEM+∠NEG=90°，∠NEG+∠ENG=90°，
∴∠OEM=∠ENG，∵∠MOE=∠NGE=90°，
∴△MOE∽△EGM，
∴$\frac{ME}{NE}=\frac{OE}{GN}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{4b-16}{b+4}$=-8，
∴b=-$\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)M（0，-$\frac{4}{3}$），
∴直線CM為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（8，-4）．
②如圖2中，作NG⊥OB垂足為G，由圖象可知EN＜EM，設(shè)點(diǎn)M（0，b）
∴tan∠MNE=2，
∴$\frac{EM}{EN}$=2，
由△MOE∽△EGN得到$\frac{ME}{EN}=\frac{OE}{GN}$=2
∴$\frac{4b-16}{b+4}=-2$，
∴b=$\frac{4}{3}$，
∴直線CM為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）．
綜上所述點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）或（8，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)列出方程解決問題，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．