Question

11．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)E是x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E做x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)P．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上運(yùn)動時，直線l交BD于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形CDFP是平行四邊形時，求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△BDM是以BD為直角邊的直角三角形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對稱點(diǎn)，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BD的解析式，根據(jù)平行線的對邊相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)互相垂直的兩直線的比例系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，可得BD的垂線，根據(jù)解方程組，可得M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx+2，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
二次函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）如圖1：，
當(dāng)x=0時，y=2，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．
由點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，得D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）．
由B（4，0），D（0，-2）可得直線BD的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x-2；
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），得
F（m，$\frac{1}{2}$m-2），P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）．
當(dāng)PF=CD=4時，（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）-（$\frac{1}{2}$m-2）=4，
解得m=2或m=0（舍去），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）；
（3）如圖2，
，
由B（4，0），D（0，-2）可得直線BD的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x-2；得
BM的解析式為y=-2x+8，
聯(lián)立BM與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$（不符合題意，舍），即M（3，2）；
B（4，0），D（0，-2）可得直線BD的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x-2，得
DM的解析式為y=-2x-2，
聯(lián)立DM與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-18}\end{array}\right.$，即M（-1，0）或（8，18）；
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2）、（-1，0）或（8，-18）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行四邊形的對邊相等得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵；利用互相垂直的兩直線的比例系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)得出BD的垂線是解題關(guān)鍵．