Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD為直徑作⊙O′交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，0）、B（0，2

3

）． 
（1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：EF為⊙O′的切線；
（3）將梯形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°到A′B′C′D′，直線CD上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的⊙P與直線C′D′相切？如果存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接CE，根據(jù)圓周角定理的推論得到CE⊥x軸，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到EO=BC=2，CE=BO=2

3

，DE=AO=2，即可得到C點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接O′E，由半徑相等得到∠O′DE=∠1，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到∠CDA=∠BAD，則∠1=∠BAD，得到O′E∥BA，于是有O′E⊥EF，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）過(guò)A作AM⊥CD于M，且交C′D′于N，根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到C′D′∥CD，AN⊥C′D′且AM=AN，在Rt△CDE中，CE=2

3

，DE=2，得到∠D=60°，在Rt△ADM中，
根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AM=3

3

，MN=6

3

．根據(jù)切線的性質(zhì)得到PD=MN=6

3

，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出PQ=9，DQ=3

3

，然后分類(lèi)推論：①若點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上，②若點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上，分別求出OQ，即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：（1）解：連接CE，如圖，
∵CD是⊙O′的直徑，
∴CE⊥x軸，
∵四邊形ABCD為等腰梯形ABCD，
∵EO=BC=2，
CE=BO=2

3

，
DE=AO=2
∴DO=4，
∴C（-2，2

3

）D（-4，0）；

（2）證明：連接O′E，如圖，在⊙O′中，
∵O′D=O′E，
∴∠O′DE=∠1，
在等腰梯形ABCD中，∠CDA=∠BAD
∴∠1=∠BAD
∴O′E∥BA
又∵EF⊥BA
∴O′E⊥EF
∴EF為⊙O′的切線．

（3）存在．理由如下：
過(guò)A作AM⊥CD于M，且交C′D′于N
∵梯形A′B′C′D′與梯形ABCD關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng)
∴C′D′∥CD，
∴AN⊥C′D′且AM=AN，
在Rt△CDE中，CE=2

3

，DE=2，
∴∠D=60°
在Rt△ADM中，
AM=AD•sinD=[2-（-4）]•sin60°=3

3

，
∴MN=6

3

．
設(shè)點(diǎn)P存在，則PD=MN=6

3

，
作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，
∴PQ=PD•sinD=6

3

•

3

2

=9，
DQ=PD•cosD=6

3

•

1

2

=3

3

，
①若點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上，
∴OQ=DQ-DO=3

3

-4，
∴P（3

3

-4，9）．
②若點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上，
∴OQ=3

3

+4，
∴P（-3

3

-4，-9）．
∴在直線CD上存在點(diǎn)P（3

3

-4，9）和P（-3

3

-4，-9），使以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的⊙P與直線C′D′相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和圓周角定理的推論以及中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)．