Question

20．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=4，∠CBA=30°，點(diǎn)D在AO上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱：DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，下列結(jié)論：
①CE=CF；
②線段EF的最小值為$\sqrt{3}$；
③當(dāng)AD=1時(shí)，EF與半圓相切；
④當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，線段EF掃過(guò)的面積是4$\sqrt{3}$．
其中正確的序號(hào)是①③．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱可得CE=CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE=CF．
（2）根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時(shí)CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
（3）連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD=OD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進(jìn)而可求出∠ECO=90°，從而得到EF與半圓相切．
（4）首先根據(jù)對(duì)稱性確定線段EF掃過(guò)的圖形，然后探究出該圖形與△ABC的關(guān)系，就可求出線段EF掃過(guò)的面積．

解答 解：①連接CD，如圖1所示．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴CE=CD．
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF，
∴CE=CD=CF．故①正確．
②當(dāng)CD⊥AB時(shí)，如圖2所示．
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AB=4，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$．
根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：
點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的最小值為$\sqrt{3}$．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴線段EF的最小值為2$\sqrt{3}$．故②錯(cuò)誤．
③當(dāng)AD=1時(shí)，連接OC，如圖3所示．
∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等邊三角形．
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=2，AD=1，
∴DO=1．
∴AD=DO，
∴∠ACD=∠OCD=30°，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴∠ECA=∠DCA，
∴∠ECA=30°，
∴∠ECO=90°，
∴OC⊥EF，
∵EF經(jīng)過(guò)半徑OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF與半圓相切．故③正確．
④∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱，
點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱，
∴當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，
點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑AM與AO關(guān)于AC對(duì)稱，
點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑NG與AO關(guān)于BC對(duì)稱．
∴EF掃過(guò)的圖形就是圖5中陰影部分．
∴S_陰影=2S_△AOC=2×$\frac{1}{4}$•AC•BC=$2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．故④錯(cuò)誤．
故答案為①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)、含30°角的直角三角形、垂線段最短等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，第四個(gè)問(wèn)題解題的關(guān)鍵是通過(guò)特殊點(diǎn)探究EF的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考?jí)狠S題．