Question

用一根手指頂住一個平面圖形內的某點，如果平面圖形能保持平衡，那么這個點叫這個平面圖形的重心，平行四邊形的中心是對角線的交點，三角形的重心是三條中線的交點．請你用如圖證明三角形的重心分一條中線成的兩條線段的比為1：2，即在△ABC中，BE，CD是兩條中線，它們交于G，求證：DG：CG=EG：BG=1：2．

Answer 1

考點：三角形的重心

專題：證明題

分析：如圖，連接AG，交DE于點H，延長AG交BC于點E．根據(jù)三角形中位線定理得到DE=

1

2

BC，則HE=

1

2

BE．通過△HEG∽△EBG的對應邊成比例證得結論．

解答：解：如圖，連接AG，交DE于點H，延長AG交BC于點F．
∵點G是△ABC的重心，
∴點F是BC的中點．
∴BF=FC．
∵D、E是AB、AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC，
∴HE∥BE，HE=

1

2

BF．
∴△HEG∽△FBG，
∴

GE

GB

=

HE

BF

=

1

2

，即EG：BG=1：2
同理 DG：CG=1：2．
∴DG：CG=EG：BG=1：2．

點評：本題考查了三角形的重心定理的證明，作輔助線構造成三角形的中位線和相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．