Question

如圖，A，B兩個工廠位于一段直線形河的異側(cè)，A廠距離河邊AC=5km，B廠距離河邊BD=1km，經(jīng)測量CD=8km，現(xiàn)準備在河邊某處（河寬不計）修一個污水處理廠E．
（1）設(shè)ED=x，請用x的代數(shù)式表示AE+BE的長；
（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠E的位置應(yīng)怎樣來確定此時需要管道多長？
（3）通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運用數(shù)形結(jié)合思想，請你猜想的最小值為______．

Answer 1

解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得AE=，BE=，
∴AE+BE=+；

（2）根據(jù)兩點之間線段最短可知連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置．
過點B作BF⊥AC于F，則有BF=CD=8，BD=CF=1．∴AF=AC+CF=6．
在Rt△ABF中，BA===10，
∴此時最少需要管道10km．

（3）根據(jù)以上推理，可作出下圖：
設(shè)ED=x．AC=3，DB=2，CD=12．當A、E、B共線時求出AB的值即為原式最小值．
當A、E、B共線時+==13，即其最小值為13．
分析：（1）∵ED=x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根據(jù)勾股定理可用x表示出AE+BE的長；
（2）根據(jù)兩點之間線段最短可知連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置．過點B作BF⊥AC于F，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的長；
（3）根據(jù)AE+BE=+=AB=10，可猜想所求代數(shù)式的值為13．
點評：本題是一道生活聯(lián)系實際的題目，綜合性較強，綜合利用了勾股定理，及用數(shù)形結(jié)合的方法求代數(shù)式的值的方法，有一定的難度．