【題目】已等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°.點D從點B出發(fā)沿射線BC移動,以AD為腰作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°.連接CE.
(1)如圖,求證:△ACE≌△ABD;
(2)點D運動時,∠BCE的度數(shù)是否發(fā)生變化?若不變化,求它的度數(shù);若變化,說明理由;
(3)若AC=,當CD=1時,請直接寫出DE的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)∠BCE的度數(shù)不變,為90°;(3)DE的長為或.
【解析】
(1)由△ABC和△ADE都是等腰Rt△可得,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,則有∠BAD=∠CAE,從而可證到△ACE≌△ABD;
(2)由△ACE≌△ABD可得∠ACE=∠ABD=45°,從而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°;
(3)可分點D在線段BC上時(如圖1)和點D在線段BC延長線上時(如圖2)兩種情況討論,在Rt△ABC中運用勾股定理可求出BC,從而得到BD,由△ACE≌△ABD可得CE=BD,在Rt△DCE中運用勾股定理就可求出DE.
解:(1)∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△ACE和△ABD中,
,
∴△ACE≌△ABD;
(2)∵△ACE≌△ABD,
∴∠ACE=∠ABD=45°,
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°=90°;
∴∠BCE的度數(shù)不變,為90°;
(3)①點D在線段BC上時,如圖1,
∵AB=AC=,∠BAC=90°,
∴BC=4.
∵CD=1,
∴BD=3.
∵△ACE≌△ABD,
∴CE=BD=3.
∵∠BCE=90°,
∴DE===;
②點D在線段BC延長線上時,如圖2,
∵AB=AC=,∠BAC=90°,
∴BC=4.
∵CD=1,
∴BD=5.
∵△ACE≌△ABD,
∴CE=BD=5.
∵∠BCE=90°,
∴∠ECD=90°,
∴DE===.
綜上所述:DE的長為或.
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【題目】填寫推理的依據(jù)。
(1)已知:AB∥CD,AD∥BC。求證:∠B=∠D。
證明:∵AB∥CD,AD∥BC( 已知 )
∴∠A+∠B=180,∠A+∠D=180°(_______________________________)
∴∠B=∠D (___________________________)
(2)已知:DF∥AC,∠A=∠F。求證:AE∥BF。
證明:∵DF∥AC (已知)
∴∠FBC=∠_______(_______________________________)
∵∠A=∠F(已知)
∴∠A=∠FBC (____________________)
∴AE∥FB (_____________________________)
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,點E為射線DC上一個動點,把△ADE沿直線AE折疊,當點D的對應(yīng)點F剛好落在線段AB的垂直平分線上時,則DE的長為 .
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【題目】填空,將理由補充完整.
如圖,于,于,,求證:.
證明:∵,(已知)
∴(垂直的定義)
∴(________________________)
∴(________________________)
∵(已知)
又∵(________________________)
∴(________________________)
∴(________________________)
∴(________________________)
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【題目】如圖,△ABC中,D是BC的中點,過D點的直線GF交AC于F,交AC的平行線BG于G點,DE⊥DF,交AB于點E,連結(jié)EG、EF.
(1)求證:BG=CF.
(2)請你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系,并說明理由.
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【題目】一列快車從甲地駛往乙地,一列慢車從乙地駛往甲地,兩車同時出發(fā).設(shè)慢車行駛的時間為x(h),兩車之間的距離為y(km),圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)題中所給信息解答以下問題:
(1)甲、乙兩地之間的距離為____km;圖中點C的實際意義為:______;慢車的速度為_______,快車的速度為______;
(2)求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,以及自變量x的取值范圍;
(3)若在第一列快車與慢車相遇時,第二列快車從乙地出發(fā)駛往甲地,速度與第一列快車相同.請直接寫出第二列快車出發(fā)多長時間,與慢車相距200km.
(4)若第三列快車也從乙地出發(fā)駛往甲地,速度與第一列快車相同.如果第三列快車不能比慢車晚到,求第三列快車比慢車最多晚出發(fā)多少小時?
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【題目】某縣城要鋪一條自來水管道,決定由甲、乙兩個工程隊來完成這一工程,已知甲工程隊比乙工程隊每天多鋪10m,且甲工程隊鋪設(shè)350m所用的天數(shù)與乙工程隊鋪設(shè)250m所用的天數(shù)相同甲、乙兩個工程隊每天各能鋪設(shè)多少米管道?
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【題目】如圖,已知∠1=∠3,CD∥EF,試說明∠1=∠4.請將過程填寫完整.
解:∵∠1=∠3,
又∠2=∠3(_______),
∴∠1=____,
∴______∥______(_______),
又∵CD∥EF,
∴AB∥_____,
∴∠1=∠4(兩直線平行,同位角相等).
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【題目】已知:如圖,點P在線段AB外,且PA=PB,求證:點P在線段AB的垂直平分線上,在證明該結(jié)論時,需添加輔助線,則作法不正確的是( )
A. 作∠APB的平分線PC交AB于點C
B. 過點P作PC⊥AB于點C且AC=BC
C. 取AB中點C,連接PC
D. 過點P作PC⊥AB,垂足為C
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