Question

（2012•邵陽(yáng)）如圖所示，直線y=-

3

4

x+b與x軸相交于點(diǎn)A（4，0），與y軸相交于點(diǎn)B，將△AOB沿著y軸折疊，使點(diǎn)A落在x軸上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P為線段CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合，連接PB，以點(diǎn)P為端點(diǎn)作射線PM交AB于點(diǎn)M，使∠BPM=∠BAC
①求證：△PBC∽△MPA；
②是否存在點(diǎn)P使△PBM為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）A與C關(guān)于y軸對(duì)稱，據(jù)此即可確定C的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，即可得到BC=BA，則∠BCP=∠MAP，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證得∠PMA=∠BPC，從而證得兩個(gè)三角形相似；
②首先求得B的坐標(biāo)，當(dāng)∠PBM=90°時(shí)，則有△BPO∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得PO的長(zhǎng)，求得P的坐標(biāo)；
當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，則∠PMA═90°時(shí)，BP⊥AC，則此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．則P的坐標(biāo)可以求得．

解答：（1）解：∵A（4，0），且點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴C（-4，0）．

（2）①證明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，
∴∠PMA=∠BPC．
又∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，且∠BPM=∠BAC，
∴∠BCP=∠MAP．
∴△PBC∽△MPA．
②存在．
解：∵直線y=-

3

4

x+b與x軸相交于點(diǎn)A（4，0），
∴把A（4，0）代入y=-

3

4

x+b，得：b=3．∴y=-

3

4

x+3．∴B（0，3）．
當(dāng)∠PBM=90°時(shí)，則有△BPO∽△ABO
∴

PO

BO

=

BO

AO

，即

PO

3

=

3

4

．∴PO=

9

4

  即：P₁（-

9

4

，0）．
當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，則∠PMA═90°（如圖）．
∴∠PAM+∠MPA=90°．
∵∠BPM=∠BAC，
∴∠BPM+∠APM=90°．
∴BP⊥AC．
∵過(guò)點(diǎn)B只有一條直線與AC垂直，
∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，即：符合條件的點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為：P₂（0，0）．
∴使△PBM為直角三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)P₁（-

9

4

，0），P₂（0，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)與相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用，正確證明△PBC∽△MPA是關(guān)鍵．