Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC上的兩點，且∠DAE=30°，將△AEC繞點A順時針旋轉120°后，得到△AFB，連接DF．下列結論中正確的個數(shù)有（　�。�
①∠FBD=60°；②△ABE∽△DCA；③AE平分∠CAD；④△AFD是等腰直角三角形．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,等腰直角三角形,旋轉的性質

專題：

分析：根據(jù)旋轉的性質得出∠ABF=∠C，求出∠ABC=∠C=30°，即可判斷①；根據(jù)三角形外角性質求出∠ADC=∠BAE，根據(jù)相似三角形的判定即可判斷②；求出∠EAC大于30°，而∠DAE=30°，即可判斷③；求出△AFD是直角三角形，但是不能推出是等腰三角形，即可判斷④．

解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵將△AEC繞點A順時針旋轉120°后，得到△AFB，
∴△AEC≌△AFB，
∴∠ABF=∠C=30°，
∴∠FBD=30°+30°=60°，∴①正確；
∵∠ABC=∠DAE=30°，
∴∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，
即∠ADC=∠BAE，
∵∠ABC=∠C，
∴△ABE∽△DCA，∴②正確；
∵∠C=∠ABC=∠DAE=30°，∠BAC=120°，
∴∠BAD+∠EAC=120°-∠DAE=90°，
∴∠ABC+∠BAD＜90°，
∴∠ADC＜90°，
∴∠DAC＞60°，
∴∠EAC＞30°，
即∠DAE≠∠EAC，∴③錯誤；
∵將△AEC繞點A順時針旋轉120°后，得到△AFB，
∴AF=AE，∠EAC=∠BAF，
∵∠BAC=120°，∠DAE=30°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAF=90°，
即△AFD是直角三角形，
∵在△DAE中，∠ADE=∠BAC+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∠ABC=∠C，但是根據(jù)已知不能推出∠BAD=∠EAC，
∴∠ADE和∠AED不相等，
∴AD和AE不相等，
即△AFD是直角三角形，但是不一定是等腰三角形，∴④錯誤；
故選B．

點評：本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質和判定，三角形的外角性質，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．