Question

如圖1，已知三角形ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90度，把一塊含30度角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上，將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。

（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N.

①直接寫出DM、DN的數(shù)量關(guān)系；

②在這一過程中，直角三角板DEF與三角形ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明如何變化的；若不發(fā)生變化，請求出其面積.

（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

（1）①DM=DN； ②四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化，S_{四邊形DMBN}= ；

（2）成立，證明見解析

【解析】（1）①DM=DN，證明如下：

連接DB，

∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴BD=DC=AD，∠BDC=90°，

∴∠ABD=∠C=45°，∠MDB+∠BDN=90°，∠BDN+∠CDN=90°，∴∠MDB=∠CDN，

在△MBD和△NCD中

，

∴△MBD≌△NCD（ASA），∴DM=DN；

②四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化，

由①知：△MBD≌△NCD，∴S_△MBD=S_△NCD，

∴S_{四邊形DMBN}=S_△DMB+S_△BDN=S_△CND+S_△BDN=S_△BDC=S_△ABC=××1×1=；

（2）DM=DN仍然成立，

連接DB，

在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴DB=DC，∠BDC=90°，∴∠DCB=∠DBC=45°，

∴∠DBM=∠DCN=135°，∵∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，∴∠CDN=∠BDM，

在△CDN和△BDM中

，

∴△CDN≌△BDM（ASA），∴DM=DN．