Question

4．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E、F、G、H分別是線段OA、OB、OC、OD的中點，那么?ABCD與四邊形EFGH是否是位似圖形？為什么？

Answer 1

分析 根據(jù)三角形中位線定理得到EF=HG，F(xiàn)E∥HG，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明四邊形EFGH是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)定理、相似多邊形的判定定理證明．

解答 解：是，
理由：∵E、F分別是OA、OB的中點，
∴FE=$\frac{1}{2}$AB，F(xiàn)E∥AB，
G、H分別是OC、OD的中點，
∴HG=$\frac{1}{2}$CD，HG∥CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴EF=HG，F(xiàn)E∥HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
∵FE∥AB，
∴∠OEF=∠OAB，
同理∠OEH=∠OAD，
∴∠HEF=∠DAB，
同理，∠EFG=∠ABC，∠FGH=∠BCD，∠GHE=∠CDA，$\frac{EF}{AB}$=$\frac{FG}{BC}$=$\frac{GH}{CD}$=$\frac{HE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴平行四邊形EFGH∽平行四邊形ABCD，
又∵各組對邊對應點得連線相交于點O，
∴平行四邊形ABCD與四邊形EFGH是位似圖形，O為位似中心．

點評 本題考查的是相似多邊形的判定、三角形中位線定理，掌握兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形是解題的關鍵．