【題目】在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,M是AD邊的中點(diǎn),P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),PM的延長(zhǎng)線交射線CD于Q點(diǎn),MN⊥PQ交射線BC于N點(diǎn)。
(1)若點(diǎn)N在BC之間時(shí),如圖:
①求證:∠NPQ=∠PQN;
②請(qǐng)問(wèn)是否為定值?若是定值,求出該定值;若不是,請(qǐng)舉反例說(shuō)明;
(2)當(dāng)△PBN與△NCQ的面積相等時(shí),求AP的值.
【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②是定值,理由見(jiàn)解析;(2)AP=6
【解析】分析:(1)、①由矩形的性質(zhì)證明△APM≌△QDM就可以得出PPM=QM,再由MN⊥PQ就可以得出結(jié)論;②作ME⊥BC于E,證明△AMP∽△EMN,由相似三角形的性質(zhì)既可以求出PM與MN的關(guān)系,再由勾股定理表示出PN就可以求出結(jié)論;(2)、分兩種情況,如圖2,如圖3,作BF⊥PN于F,CG⊥QN于G,作中線BS、CT,通過(guò)證明Rt△BFS≌Rt△CGT和△PBN≌△QCN,進(jìn)一步由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.
詳解:解(1)①證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADC=∠ADQ=90°,
AB//CD,∴∠APM=∠DQM, ∵M是AD邊的中點(diǎn),∴AM=DM,
在△APM和△DQM中,,∴△APM≌△DQM(AAS),∴PM=QM,
∵MN⊥PQ,∴MN是線段PQ的垂直平分線,∴PN=QN,∴∠NPQ=∠PQN;
②解:是定值
理由:如圖①,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BC于點(diǎn)E,∴∠MEN=∠MEB=∠AME=90°,
∴四邊形ABEM是矩形,∠MEN=∠MAP,∴AB=EM,
∵MN⊥PQ,∴∠PMN=90°,∴∠PMN=∠AME,
∴∠PMN-∠PME=∠AME-∠PME,∴∠EMN=∠AMP, ∴△AMP∽△EMN,
∴,∴,∵AD=12,M是AD邊的中點(diǎn),∴AM=AD=6,
∵AB=8,∴;
圖① 圖② 圖③
(2)解:分點(diǎn)N在BC之間和點(diǎn)N在BC延長(zhǎng)線上兩種情況
(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)N在BC之間時(shí),如圖②,作BF⊥PN于點(diǎn)F,CG⊥QN于點(diǎn)G,再分別作Rt△PBN和Rt△NCQ的中線BS、CT, ∴∠BFS=∠CGT=90°,BS=PN,CT=QN,
∵PN=QN,S△PBN=S△NCQ,∴BF=CG,BS=CT
在Rt△BFS和Rt△CGT中,,∴Rt△BFS≌Rt△CGT(HL),∴∠BSF=∠CTG,
∴∠BNP=∠BSF=∠CTG=∠CQN,
在△PBN和△NCQ中,,∴△PBN≌△NCQ(AAS),∴BN=CQ,BP=CN,
∵AP=AB-BP=8-CN,又∵CN=BC-BN=12-CQ,∴AP=CQ-4
又∵CQ=CD+DQ,DQ=AP,∴AP=4+AP(舍去),∴此種情況不成立;
(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)N在BC延長(zhǎng)線上時(shí),如圖③,作BF⊥PN于點(diǎn)F,CG⊥QN于點(diǎn)G,再分別作Rt△PBN和Rt△NCQ的中線BS、CT, 同理可得,△PBN≌△NCQ,∴PB=NC,BN=CQ,
∵AP=DQ, ∵AP+8=DQ+CD=CQ=BC+CN=12+BP,
∴AP-BP=4 ①, ∵AP+BP=AB=8②, ①+②得:2AP=12,∴AP=6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知AB=10cm,點(diǎn)C在直線AB上,如果BC=4cm,點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn),求線段BD的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠按用戶的月需求量x (件)完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn),其中x>0.每件的售價(jià)為18萬(wàn)元,每件的成本為y (萬(wàn)元),y與x的關(guān)系式為(a,b為常數(shù)).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),月需求量x與月份n (n為整數(shù),1≤n≤12)的關(guān)系式為x=n2-13n+72,且得到了下表中的數(shù)據(jù).
月份n(月) | 1 | 2 |
成本y(萬(wàn)元/件) | 11 | 12 |
(1)請(qǐng)直接寫出a,b的值;
(2)設(shè)第n個(gè)月的利潤(rùn)為w(萬(wàn)元),請(qǐng)求出W與n的函數(shù)關(guān)系式,并求出這一年的12個(gè)月中,哪個(gè)月份的利潤(rùn)為84萬(wàn)元?
(3)在這一年的前8個(gè)月中,哪個(gè)月的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn),分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為a,b。| a |=3,| b |=9,
(1)求a與b的值。
(2)求出線段AB的長(zhǎng)度。
(3)若數(shù)軸上有一點(diǎn)C,且C到B的距離是C到A距離的3倍,直接寫出點(diǎn)C所表示的數(shù)。
(4)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),先向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度········,求出1889次移動(dòng)后的點(diǎn)P所表示的數(shù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】,是平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn),我們把叫做兩點(diǎn)間的“直角距離”,記作.
(1)令,為坐標(biāo)原點(diǎn),則________;
(2)已知,動(dòng)點(diǎn)滿足,且均為整數(shù):
①滿足條件的點(diǎn)有多少個(gè)?
②若點(diǎn)在直線上,請(qǐng)寫出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某影院共有15排座位,第一排有12個(gè)座位數(shù),從第2排開(kāi)始,每一排都比前一排增加2個(gè)座位.
(1)請(qǐng)你在下表的空格里填寫一個(gè)適當(dāng)?shù)氖阶?/span>.
第1排的座位數(shù) | 第2排的座位數(shù) | 第3排的座位數(shù) | … | 第排的座位數(shù) |
12 | 14 | 16 | … |
(2)影院最后兩排共有多少個(gè)座位?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩車從A地將一批物品勻速運(yùn)往B地,已知甲出發(fā)0.5h后乙開(kāi)始出發(fā),如圖,線段OP、MN分別表示甲、乙兩車離A地的距離S(km)與時(shí)間t(h)的關(guān)系,請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解決如下問(wèn)題:
(1)計(jì)算甲、乙兩車的速度及a的值;
(2)乙車到達(dá)B地后以原速立即返回.
①在圖中畫出乙車在返回過(guò)程中離A地的距離S(km)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象;②請(qǐng)問(wèn)甲車在離B地多遠(yuǎn)處與返程中的乙車相遇?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】桐城市發(fā)起了“保護(hù)龍眠河”行動(dòng),某學(xué)校七年級(jí)兩個(gè)班的115名學(xué)生積極參與,踴躍捐款,已知甲班有 的學(xué)生每人捐了10元,乙班有的學(xué)生每人捐了10元,兩個(gè)班其余學(xué)生每人捐了5元,設(shè)甲班有學(xué)生x人。
(1)用含x的代數(shù)式表示乙班人數(shù): ;
(2)用含x的代數(shù)式表示兩班捐款的總額;
(3)若x=60,則兩班共捐款多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=10°,點(diǎn)P在OB上.以點(diǎn)P為圓心,OP為半徑畫弧,交OA于點(diǎn)P1(點(diǎn)P1與點(diǎn)O不重合),連接PP1;再以點(diǎn)P1為圓心,OP為半徑畫弧,交OB于點(diǎn)P2(點(diǎn)P2與點(diǎn)P不重合),連接P1 P2;再以點(diǎn)P2為圓心,OP為半徑畫弧,交OA于點(diǎn)P3(點(diǎn)P3與點(diǎn)P1不重合),連接P2 P3;……
請(qǐng)按照上面的要求繼續(xù)操作并探究:
∠P3 P2 P4=_____°;按照上面的要求一直畫下去,得到點(diǎn)Pn,若之后就不能再畫出符合要求點(diǎn)Pn+1了,則n=_____.
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