Question

在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=（m＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，4）、B（a，b），其中a＞1．過點A作x軸的垂線，垂足為C；過點B作y軸的垂線，垂足為D，AC與BD相交于點M，連接AB、AD、BC、CD．
（1）求m的值；
（2）求證：CD∥AB；
（3）當(dāng)AD=BC時，求直線AB的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)y=（m＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，4），代入求出即可；
（2）根據(jù)解析式得出B、C、D、M的坐標(biāo)，然后分別表示出線段DM，MB，AM，MC的長，可求出△CDM∽△ABM進而得出CD∥AB；
（3）根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形以及四邊形ABCD為等腰梯形分別得出即可．
解答：（1）解：∵函數(shù)y=（m＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，4），
∴代入求出：m=4；

（2）證明：由題意得：B、C（1，0）、D（0，）、M（1，）
∴DM=1，MB=a-1，AM=4-，MC=
∴，
∴
∵∠DMC=∠BMA
∴△CDM∽△ABM，
∴∠DCA=∠BAC
∴CD∥AB；

（3）解：設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b
∵CD∥AB，AD=BC
∴四邊形ABCD為平行四邊形或等腰梯形
情況1：四邊形ABCD為平行四邊形
則DM=MB
∴a-1=1，a=2
∴B（2，2），
∵A（1，4）、B（2，2）在直線AB上，
把點A（1，4）、B（2，2）分別代入y=kx+b中
，
解得：
則直線解析式為：y=-2x+6，
情況2：四邊形ABCD為等腰梯形
則AC=BD
∴a=4，
∴B（4，1），
∵A（1，4）、B（4，1）在直線AB上，
把點A（1，4）、B（4，1）分別代入y=kx+b中
，
解得：
則直線解析式為：y=-x+5
綜上所述，直線AB的函數(shù)解析式為y=-2x+6或y=-x+5．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定，此題綜合性較強是中考中重點題型，特別注意相似三角形的應(yīng)用是考查重點．