Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BF=DE，
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AB=2，BF=1，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得正方形的四條邊相等，對角線平分對角，根據(jù) SAS，可得△ABF與△CBF與△CDE與△ADE的關(guān)系，根據(jù)三角形全等，可得對應(yīng)邊相等，再根據(jù)四條邊相等的四邊形，可得證明結(jié)果；
（2）根據(jù)正方形的邊長、對角線，可得直角三角形，根據(jù)勾股定理，可得AC、EF的長，根據(jù)菱形的面積公式，可得答案．

解答：（1）證明：正方形ABCD中，對角線BD，
∴AB=BC=CD=DA，
∠ABF=∠CBF=∠CDE=∠ADE=45°．
∵BF=DE，
∴△ABF≌△CBF≌△DCE≌△DAE（SAS）．
AF=CF=CE=AE
∴四邊形AECF是菱形；
（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD=

AB2+BD2

=

22+22

=2

2

，
BC=AD=2

2

，
EF=BC-BF-DE=2

2

-1-1，
四邊形AECF的面積=AD•EF÷2
=2

2

×(2

2

-2)÷2
=4-2

2

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，（1）先證明四個三角形全等，再證明四邊相等的四邊形是菱形；（2）先求出菱形的對角線的長，再求出菱形的面積．