Question

19．如圖是拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的一部分，拋物線的頂點坐標A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y₂=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結論：
①2a+b=0；
②abc＞0；
③方程ax²+bx+c=3有兩個相等的實數根；
④拋物線與x軸的另一個交點是（-1，0）；
⑤當1＜x＜4時，有y₂＜y₁．
其中正確結論的個數是（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根據拋物線對稱軸方程對①進行判斷；由拋物線開口方向得到a＜0，由對稱軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點位置可得c＞0，于是可對②進行判斷；根據頂點坐標對③進行判斷；根據拋物線的對稱性對④進行判斷；根據函數圖象得當1＜x＜4時，一次函數圖象在拋物線下方，則可對⑤進行判斷．

解答 解：∵拋物線的頂點坐標A（1，3），
∴拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=1，
∴2a+b=0，所以①正確；
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②錯誤；
∵拋物線的頂點坐標A（1，3），
∴x=1時，二次函數有最大值，
∴方程ax²+bx+c=3有兩個相等的實數根，所以③正確；
∵拋物線與x軸的一個交點為（4，0）
而拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（-2，0），所以④錯誤；
∵拋物線y₁=ax²+bx+c與直線y₂=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B點（4，0）
∴當1＜x＜4時，y₂＜y₁，所以⑤正確．
故選：C．

點評 本題考查了二次項系數與系數的關系：對于二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大�。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．