Question

如圖，AB為⊙O的直徑，BC為弦，且∠ABC=30°，點(diǎn)P、Q分別是AB、BC上一點(diǎn)，且PQ+PC=5恒成立，則直徑AB的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：過(guò)點(diǎn)C作AB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DC、DB、DA、DQ，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，交AB于G，連接GC，根據(jù)對(duì)稱性可得PD=PC，∠DBA=∠CBA=30°，從而有∠DBC=60°，由圓的對(duì)稱性可得點(diǎn)D在⊙O上，則有∠BDA=90°，然后利用三角函數(shù)可得BA=

4

3

DH，根據(jù)點(diǎn)到直線之間垂線段最短可得DH≤DQ，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得DQ≤PD+PQ=PC+PQ=5，則有DH≤5．，從而可求出直徑AB的最大值．

解答：解：過(guò)點(diǎn)C作AB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DC、DB、DA、DQ，
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，交AB于G，連接GC，如圖所示，
則有PD=PC，∠DBA=∠CBA=30°，
則有∠DBC=60°．
由圓的對(duì)稱性可得點(diǎn)D在⊙O上，則有∠BDA=90°．
在Rt△ADB中，cos∠DBA=

BD

BA

=

3

2

．
在Rt△BHD中，sin∠DBH=

DH

BD

=

3

2

．
則有

DH

BA

=

BD

BA

•

DH

BD

=

3

2

•

3

2

=

3

4

，
所以BA=

4

3

DH．
根據(jù)點(diǎn)到直線之間垂線段最短可得DH≤DQ，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得DQ≤PD+PQ=PC+PQ=5，
所以DH≤5．
∴BA=

4

3

DH≤

20

3

．
∴直徑AB的最大值為

20

3

．
故答案為：

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角函數(shù)、點(diǎn)到直線之間垂線段最短、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，證到BA=

4

3

DH及DH≤5是解決本題的關(guān)鍵．