Question

如圖，AB是半圓O的直徑，過(guò)點(diǎn)O作弦AD的垂線交半圓O于點(diǎn)E，F(xiàn)為垂足，交AC于點(diǎn)C使∠BED=∠C．請(qǐng)判斷直線AC與圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：直線AC與圓O的位置關(guān)系是相切，理由為：利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得一對(duì)角相等，再由已知的兩角相等，等量代換可得∠DAB=∠C，又OC垂直于AD，根據(jù)垂直定義可得∠AFO為90°，進(jìn)而得到三角形AFO中兩銳角互余，等量代換可得三角形AOC中兩角互余，即∠CAO為90°，即可得到直線AC與圓的切線，得證．

解答：解：直線AC與圓O的位置關(guān)系是相切，理由為：
∵∠BED與∠DAB所對(duì)的弧都為

BD

，
∴∠BED=∠DAB，又∠BED=∠C，
∴∠DAB=∠C，
∵OC⊥AD，
∴∠AFO=90°，
∴∠DAB+∠AOC=90°，
∴∠C+∠AOC=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AC⊥OA，
則AC為圓O的切線．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓周角定理，垂直定義，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，其中經(jīng)過(guò)直徑一端，且與直徑垂直的直線為圓的切線，熟練掌握此性質(zhì)是證明切線的關(guān)鍵．