Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF∥BC，交AB、AC的延長線于點(diǎn)E、F．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）若sin∠ABC=

3

4

，CF=1，求⊙O的半徑及EF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OD，只要證明OD⊥EF即可．
（2）連接BD，CD，根據(jù)相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根據(jù)相似比及勾股定理即可求得半徑及EF的值．

解答：（1）證明：連接OD；
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°；
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA；
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AF，
∴∠ODE=∠AFD=90°，
即OD⊥EF；
又∵EF過點(diǎn)D，
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：連接BD，CD；
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠AFD；
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴BD=CD；
設(shè)BD=CD=a；
又∵EF是⊙O的切線，
∴∠CDF=∠DAC，
∴∠CDF=∠OAD=∠DAC，
∴△CDF∽△ABD∽△ADF，
∴

CF

CD

=

BD

AB

，

CF

DF

=

DF

AF

；
∵sin∠ABC=

AC

AB

=

3

4

，
∴設(shè)AC=3x，AB=4x，
∴

1

a

=

a

4x

，則a²=4x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得 DF²=CD²-CF²=4x-1；
又∵

CF

DF

=

DF

AF

，
∴4x-1=1×（1+3x），
∴x=2，
∴AB=4x=8，AC=3x=6；
∵EF∥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∴

AB

AE

=

AC

AF

，

8

AE

=

6

7

，AE=

28

3

，
∴在Rt△AEF中，EF=

AE2-AF2

=

( 28 3 )2-72

=

7 7

3

．
綜上所述，⊙O的半徑及EF的長分別是4和

7 7

3

．

點(diǎn)評：本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．