Question

如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，4）．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接BP，過(guò)P點(diǎn)作BP的垂線，與過(guò)點(diǎn)Q平行于y軸的直線l相交于點(diǎn)D．BD與y軸交于點(diǎn)E，連接PE．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）∠PBD的度數(shù)為

 

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

 

（用t表示）；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBE為等腰三角形？
（3）探索△POE周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，試求這個(gè)定值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,解一元一次方程,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）易證△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個(gè)基本圖形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底邊不定，故分三種情況討論，借助于三角形全等及勾股定理進(jìn)行求解，然后結(jié)合條件進(jìn)行取舍，最終確定符合要求的t值．
（3）由（2）已證的結(jié)論EP=AP+CE很容易得到△POE周長(zhǎng)等于AO+CO=8，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖1，
由題可得：AP=OQ=1×t=t（秒）
∴AO=PQ．
∵四邊形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°．
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ．
在△BAP和△PQD中，

∠BAP=∠PQD ∠BPA=∠PDQ AB=PQ

∴△BAP≌△PQD（AAS）．
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t．
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，t）．
故答案為：45°，（t，t）．

（2）①若PB=PE，
由△PAB≌△DQP得PB=PD，
顯然PB≠PE，
∴這種情況應(yīng)舍去．
②若EB=EP，
則∠PBE=∠BPE=45°．
∴∠BEP=90°．
∴∠PEO=90°-∠BEC=∠EBC．
在△POE和△ECB中，

∠PEO=∠EBC ∠POE=∠ECB EP=BE

∴△POE≌△ECB（AAS）．
∴OE=CB=OC．
∴點(diǎn)E與點(diǎn)C重合（EC=0）．
∴點(diǎn)P與點(diǎn)O重合（PO=0）．
∵點(diǎn)B（-4，4），
∴AO=CO=4．
此時(shí)t=AP=AO=4．
③若BP=BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，

BA=BC BP=BE

∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．
∴AP=CE．
∵AP=t，
∴CE=t．
∴PO=EO=4-t．
∵∠POE=90°，
∴PE=

PO2+EO2

=

2

（4-t）．
延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．
在△FAB和△ECB中，

AB=CB ∠BAF=∠BCE=90° AF=CE

∴△FAB≌△ECB．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，

BF=BE ∠FBP=∠EBP BP=BP

∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP
=CE+AP．
∴EP=t+t=2t．
∴

2

（4-t）=2t．
解得：t=4

2

-4
∴當(dāng)t為4秒或（4

2

-4）秒時(shí)，△PBE為等腰三角形．

（3）∵EP=CE+AP，
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE
=AO+CO
=4+4
=8．
∴△POE周長(zhǎng)是定值，該定值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等知識(shí)，考查了分類討論的思想，考查了利用基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，綜合性非常強(qiáng)．熟悉正方形與一個(gè)度數(shù)為45°的角組成的基本圖形（其中角的頂點(diǎn)與正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，角的兩邊與正方形的兩邊分別相交）是解決本題的關(guān)鍵．