Question

某服裝廠現(xiàn)有工人1000人，原來全部從事服裝生產(chǎn)，為了企業(yè)改革需要，準(zhǔn)備將其部分人分流從事服務(wù)行業(yè)，經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，服裝生產(chǎn)的利潤(rùn)y₁（百萬元）與服裝生產(chǎn)的工作人數(shù)x（百人）的關(guān)系為y₁=，從事服務(wù)行業(yè)的純利潤(rùn)y₂ （百萬元）與從事服務(wù)行業(yè)人數(shù)t（百人）的關(guān)系y₂=．服裝工廠總利潤(rùn)w（百萬元）為兩種行業(yè)純利潤(rùn)和．
（1）寫出y₂與x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；
（2）求出W與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）工廠如何安排工人數(shù)，才能使總利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得從事服務(wù)行業(yè)人數(shù)t=10-x（百人），又由從事服務(wù)行業(yè)的純利潤(rùn)y₂ （百萬元）與從事服務(wù)行業(yè)人數(shù)t（百人）的關(guān)系y₂=，將t=10-x代入，即可求得y₂與x 的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由服裝工廠總利潤(rùn)w（百萬元）為兩種行業(yè)純利潤(rùn)和，分別從當(dāng)0≤x≤6時(shí)，當(dāng)6≤x≤8時(shí)與當(dāng)8≤x≤10時(shí)去分析即可求得W與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用二次函數(shù)最值問題，分別求得當(dāng)0≤x≤6時(shí)，當(dāng)6≤x≤8時(shí)與當(dāng)8≤x≤10時(shí)w的最大值，即可求得答案．
解答：解：（1）∵服裝廠現(xiàn)有工人1000人，即服裝廠現(xiàn)有工人10百人，
∴從事服務(wù)行業(yè)人數(shù)t=10-x（百人），
∵y₂=．
∴y₂=，
即y₂=，
∴y₂與x 的函數(shù)關(guān)系式為：y₂=；

（2）當(dāng)0≤x≤6時(shí)，w=-（x-1）²+16+2x+3=-（x-3）²+23，
當(dāng)6≤x≤8時(shí)，w=-（x-1）²+16-4x+39=-（x+3）²+59，
當(dāng)8≤x≤10時(shí)，w=（x-1）²-2-4x+39=（x-3）²+29，
∴W與x的函數(shù)關(guān)系式為：w=；

（3）由（2）可得：①當(dāng)0≤x≤6時(shí)，x=3時(shí)，w最大為23百萬元；
②當(dāng)6≤x≤8時(shí)，
∵當(dāng)x＞-3時(shí)，w隨x增大而減小，
∴當(dāng)x=6時(shí)，w最大為18.5百萬元；
③當(dāng)8≤x≤10時(shí)，
∵當(dāng)x＞3時(shí)，w隨x增大而增大，
∴當(dāng)x=10時(shí)，w最大為78百萬元；
∴1000人都從事服裝生產(chǎn)，獲得利潤(rùn)最大．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題．此題難度較大，屬于分段函數(shù)，所以要注意分類討論思想的應(yīng)用，注意理解題意，根據(jù)題意求得二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．