Question

10．如圖，△ABC中，AB=AC=8，BC=12，點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上，且∠AQP=∠B．
（1）求證：△BQP∽△CAQ；
（2）若BP=4.5，求∠BPQ的度數(shù)；
（3）若在BC邊上存在兩個(gè)點(diǎn)Q，滿足∠AQP=∠B，求BP長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠PQB=∠CAQ，根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BQ=6，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠CQA=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到答案；
（3）設(shè)BQ=x，BP=m，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到一元二次方程，根據(jù)題意和根的判別式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠AQP=∠B．
∴∠AQP=∠C．
又∵∠AQB=∠AQP+∠PQB，∠AQB=∠CAQ+∠C，
∴∠PQB=∠CAQ．
∴△BQP∽△CAQ．
（2）∵△BQP∽△CAQ，
∴$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BP}{CQ}$．
∴$\frac{BQ}{8}$=$\frac{4.5}{12-BQ}$，
解得BQ=6．
∵BC=12，
∴BQ=CQ=6．
又∵AB=AC，
∴AQ⊥BC，
∴∠CQA=90°．
∵△BQP∽△CAQ，
∴∠BPQ=∠CQA=90°．
（3）∵△BQP∽△CAQ，
∴$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BP}{CQ}$．
設(shè)BQ=x，BP=m，則 $\frac{x}{8}$=$\frac{m}{12-x}$，
整理得  x²-12x+8m=0．
∵在BC邊上存在兩個(gè)點(diǎn)Q，
∴方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
∴△=12²-32m＞0，解得 m＜$\frac{9}{2}$，
∴BP長(zhǎng)的取值范圍為0＜BP＜$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．