(2013•上海模擬)如圖,在半徑為1的扇形AOB中,∠AOB=90°,點P是
AB
上的一個動點(不與點A、B重合),PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別為點C、D,點E、F、G、H分別是線段OD、PD、PC、OC的中點,EF與DG相交于點M,HG與EC相交于點N,聯(lián)結(jié)MN.如果設(shè)OC=x,MN=y,那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式及函數(shù)定義域為
y=-
1
3
x2+
4
9
(o<x<1)
y=-
1
3
x2+
4
9
(o<x<1)
分析:建立平面直角坐標(biāo)系,連接OP交MN于R,交MG于Z,交CE于Q,根據(jù)三角形中位線求出EF∥OP∥GH,求出DM=MZ=ZG,EQ=QN=CN,求出E的坐標(biāo),即可求出M、N的坐標(biāo),根據(jù)勾股定理求出MN,即可得出答案.
解答:解:
如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,連接OP交MN于R,交MG于Z,交CE于Q,
∵點E、F、G、H分別是線段OD、PD、PC、OC的中點,
∴EF∥OP,GH∥OP,
∴DM=MZ,GZ=MZ,
∴DM=MZ=ZG,
同理EQ=QN=CN,
在Rt△OPC中,OC=x,OP=1,由勾股定理得:OD=CP=
1-x2
,
∴E的坐標(biāo)是(0,
1
2
1-x2
),
∵CN=NQ=EQ,OC=x,
∴N的橫坐標(biāo)是
2
3
OC=
2
3
x,N的縱坐標(biāo)是
1
3
OE=
1
6
1-x2
,M的橫坐標(biāo)是x-
2
3
x=
1
3
x,縱坐標(biāo)是OE-
1
6
1-x2
=
5
6
1-x2

即N(
2
3
x,
1
6
1-x2
),M(
1
3
x,
5
6
1-x2
),
由勾股定理得:MN=(
2
3
x-
1
3
x)2+[
1
6
1-x2
-
5
6
1-x2
2,
即y=-
1
3
x2+
4
9
,x的范圍是:O<x<1.
故答案為:y=-
1
3
x2+
4
9
(0<x<1).
點評:本題考查了平行線分線段成比例定理,三角形的中位線,勾股定理等知識點的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力,有一定的難度.
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3-8
=
-2
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