Question

如圖，某地有一座圓弧形的拱橋，圓弧所在圓的圓心為O，半徑為OC，橋下水面寬AB為7.2m，拱頂C高出2.4m（CD=2.4m），現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為正方形并高出水面2m的貨船DFNM要經(jīng)過(guò)這里，此時(shí)貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用,勾股定理

專(zhuān)題：

分析：連接ON，OB，通過(guò)求距離水面2米高處即HD長(zhǎng)為2時(shí)，橋有多寬即MN的長(zhǎng)與貨船頂部的3米做比較來(lái)判定貨船能否通過(guò)（MN大于3則能通過(guò)，MN小于等于3則不能通過(guò)）．先根據(jù)半弦，半徑和弦心距構(gòu)造直角三角形求出半徑的長(zhǎng)，再根據(jù)Rt△OHN中勾股定理求出HN的長(zhǎng)，從而求得MN的長(zhǎng)

解答：解：如圖，連接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D為AB中點(diǎn)，
∵AB=7.2m，
∴BD=

1

2

AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
設(shè)OB=OC=ON=r，則OD=（r-2.4）m．
在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：r²=（r-2.4）²+3.6²，
解得r=3.9．
∵CD=2.4m，船艙頂部為正方形并高出水面2m，
∴CH=2.4-2=0.4m，
∴OH=r-CH=3.9-0.4=3.5m，
在Rt△OEN中，HN²=ON²-OH²=3.9²-3.5²=2.96（m²），
∴EN=

2.96

（m）．
∴MN=2HN=2×

2.96

≈3.44m＞3m．
∴此貨船能順利通過(guò)這座拱橋．

點(diǎn)評(píng)：考查了垂徑定理的應(yīng)用，解決此類(lèi)橋拱問(wèn)題，通常是利用半弦，半徑和弦心距構(gòu)造直角三角形，根據(jù)直角三角形中的勾股定理作為相等關(guān)系解方程求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．要注意本題是通過(guò)求距離水面2米高處即HD長(zhǎng)為2時(shí)，橋有多寬即MN的長(zhǎng)與貨船頂部的3米做比較來(lái)判定貨船能否通過(guò)（MN大于3則能通過(guò)，MN小于等于3則不能通過(guò)）．