Question

9．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過C作CE⊥AB于E，且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°．求證：AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD）．

Answer 1

分析 過C作CM⊥AD于M，于是得到△MAC≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=AE，證Rt△DMC≌Rt△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=DM，求出AB+AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=2AM=2AE，即可得出答案．

解答 證明：過C作CM⊥AD于M，
∵CE⊥AB，
∴∠M=∠CEB=90°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠MDC=180°，
∴∠B=∠MDC，
∵AC平分∠BAD，CM⊥AD，CE⊥AB，
∴CM=CE，∠MAC=∠EAC，
在△MAC和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠EAC}\\{∠M=∠AEC=90°}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△MAC≌△EAC（AAS），
∴AM=AE，
∵∠M=∠BEC=90°，
∴在Rt△DMC和Rt△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BC}\\{CM=CE}\end{array}\right.$
∴Rt△DMC≌Rt△BEC（HL），
∴BE=DM，
∴AB+AD
=AE+BE+AD
=AE+DM+AD
=2AM
=2AE，
即AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD）．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．