Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，AB⊥BC，點E，F(xiàn)在邊AB上，且∠AED=45°，∠BFC=60°，AE=2，EF=2-$\sqrt{3}$，F(xiàn)C=2$\sqrt{3}$．
（1）BC=3．
（2）求點D到BC的距離．
（3）求DC的長．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥BC，F(xiàn)C=2$\sqrt{3}$°，∠BFC=60°，直接利用三角函數(shù)的知識求解即可求得答案；
（2）首先過點D作DG⊥BC于點G，由AD∥BC，AB⊥BC，可得DG=AB，繼而求得答案；
（3）首先可得四邊形ABGD是平行四邊形，即可求得CG的長，然后由勾股定理求得答案．

解答 解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∵FC=2$\sqrt{3}$，∠BFC=60°，
∴BC=FC•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3；
故答案為：3；

（2）過點D作DG⊥BC于點G，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴DG=AB，DA⊥AB，
∵FC=2$\sqrt{3}$，∠BFC=60°，
∴BF=FC•cos60°=$\sqrt{3}$，
∴DC=AB=AE+EF+BF=2+2-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=4；

（3）∵DA⊥AB，∠AED=45°，
∴AD=AE=2，
∵DG⊥BC，AB⊥BC，
∴DG∥AB，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABGD是平行四邊形，
∴BG=AD=2，
∴CG=BC-BG=3-2=1，
∴在Rt△DCG中，CD=$\sqrt{D{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{17}$．

點評 此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．注意證得四邊形ABGD是平行四邊形是解此題的關(guān)鍵．