Question

如圖，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為D、E、F．
（1）CA•CE與CB•CF相等嗎？為什么？
（2）連接EF交CD于點(diǎn)O，線(xiàn)段OC、OD、OE、OF成比例嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）CA•CE=CB•CF，理由為：由一對(duì)直角相等及一對(duì)公共角相等，得到三角形CED與三角形DCA相似，由相似得比例列出關(guān)系式，同理得到三角形CDF與三角形CBD相似，由相似得比例列出關(guān)系式，等量代換即可得證；
（2）線(xiàn)段OC、OD、OE、OF成比例，理由為：由∠CED=∠CFD=90°，得到C，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到兩對(duì)角相等，確定出三角形OED與三角形OCF相似，由相似得比例即可得證．

解答：解：（1）CA•CE=CB•CF，理由為：
∵∠CED=∠CDA=90°，∠ECD=∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴

CE

CD

=

CD

CA

，即CD²=CE•CA，
∵∠CFD=∠CDB=90°，∠FCD=∠DCB，
∴△CDF∽△CBD，
∴

CF

CD

=

CD

CB

，即CD²=CB•CF，
則CA•CE=CB•CF；
（2）線(xiàn)段OC、OD、OE、OF成比例，理由為：
∵∠CED=∠CFD=90°，
∴C，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠FED=∠FCD，∠DEC=∠EFC，
∴△ODE∽△OCF，
∴

OC

OD

=

OF

OE

，即OC：OD=OF：OE，
則線(xiàn)段OC、OD、OE、OF成比例．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．