(1998•大連)如圖,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,且BC=3AD.以梯形的高AE為直徑的⊙O交AB于點F,交CD于點G、H.過點F引⊙O的切線交BC于點N.
(1)求證:BN=EN;
(2)求證:4DH•HC=AB•BF;
(3)設(shè)∠GEC=α.若tan∠ABC=2,求作以tanα、cotα為根的一元二次方程.
分析:(1)首先連接OF,易證得△BFN是等腰三角形,且BN=FN,又由切線長定理,證得FN=EN,即可證得BN=EN;
(2)首先過點O作OK⊥GH于點K,由垂徑定理可證得DG=HC,又由切割線定理,證得AD2=DH•DG,BE2=AB•BF,然后由BC=3AD,可得BE=2AD,繼而證得4DH•HC=AB•BF;
(3)首先連接OG,由tan∠ABC=2,可設(shè)BE=2a,則AE=4a,繼而求得EC與CG的長,根據(jù)正切函數(shù)與余切函數(shù)函數(shù)的定義,即可求得tanα、cotα的值,又由根與系數(shù)的關(guān)系,即可求得答案.
解答:(1)證明:連接OF,
∵FN是⊙O的切線,
∴OF⊥FN,
即∠OFN=90°,
∴∠BFN+∠AFO=90°,
∵AE是梯形的高,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BC,
∴∠BAE+∠B=90°,
∵OA=OF,
∴∠AFO=∠BAE,
∴∠B=∠BFN,
∴BN=FN,
∵AE為⊙O的直徑,
∴BC是⊙O的切線,
∴FN=EN,
BN=EN;

(2)過點O作OK⊥GH于點K,
∴KH=KG,
∵AE為⊙O的直徑,且AE是梯形的高,
∴AD是⊙O得切線,且AD∥OK∥EC,
∴AD2=DH•DG,DK=CK,
∴DG=HC,
∴AD2=DH•HC;
∵BC是⊙O的切線,
∴BE2=AB•BF,
∵在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,
∴四邊形ADCE是矩形,
∴EC=AD,
∵BC=3AD,
∴BE=2AD,
∴4AD2=AB•BF,
∴4DH•HC=AB•BF;

(3)連接OG,
∵在Rt△ABE中,tan∠ABC=
AE
BE
=2,
∴設(shè)BE=2a,則AE=4a,
∴CK=OG=
1
2
AE=2a,OK=EC=
1
2
BE=a,
在Rt△OKG中,KG=
OG2-OK2
=
3
a,
∴CG=CK-KG=(2-
3
)a,
在Rt△ECG中,tanα=
CG
EC
=2-
3
,cotα=
EC
CG
=2+
3
,
∴tanα+cotα=4,tanα•cotα=1,
∴以tanα、cotα為根的一元二次方程為:x2-4x+1=0.
點評:此題考查了切線的判定與性質(zhì)、切割線定理、切線長定理、垂徑定理、直角梯形的性質(zhì)、勾股定理、根與系數(shù)的關(guān)系以及三角函數(shù)等知識.此題綜合性很強,難度較大,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.
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