Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別在邊AB、對(duì)角線BD上，EG∥AD，F(xiàn)為GD的中點(diǎn)，連接FC，利用勾股定理的逆定理，證明EF⊥FC．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理的逆定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：作FH⊥AB于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HF交CD于點(diǎn)I，作FK⊥AD于點(diǎn)K，連接EC，則四邊形FIDK是正方形，四邊形AKFH是矩形，由EG∥AD，F(xiàn)為GD的中點(diǎn)，可得點(diǎn)H是AE的中點(diǎn)，進(jìn)而可得：HE=AH=FK=DK=DI=FI，HF=BH=IC=AK，然后由勾股定理分別表示EF²，F(xiàn)C²，EC²，最后根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△EFC是直角三角形，進(jìn)而可證EF⊥FC．

解答：證明：作FH⊥AB于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HF交CD于點(diǎn)I，作FK⊥AD于點(diǎn)K．

則四邊形FIDK是正方形，四邊形AKGH是矩形，
∴AK=HF，KD=DI=FI=AH，
∵AD=CD，
∴IC=HF，
∵AD∥FH∥EG，F(xiàn)是DG的中點(diǎn)，
∴HA=HE，
∴HE=FI，
∴HE=AH=FK=DK=DI=FI，HF=BH=IC=AK，
在Rt△HEF和Rt△FIC中，由勾股定理得：
EF²=HE²+HF²，F(xiàn)C²=FI²+IC²，
∴EF²+FC²=HE²+HF²+FI²+IC²=2HE²+2HF²，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
EC²=BE²+BC²，
∵BE²=（AB-AE）²
=（AD-2HE）²
=（HF+FI-2HE）²
=（HF+HE-2HE）²
=（HF-HE）²
=HF²-2HF•HE+HE²，
BC²=（HF+FI）²
=（HF+HE）²
=HF²+2HF•HE+HE²，
∴EC²=BE²+BC²
=HF²-2HF•HE+HE²+HF²+2HF•HE+HE²，
=2HE²+2HF²，
即EF²+FC²=EC²，
∴△EFC是直角三角形，且∠EFC=90°，
∴EF⊥FC．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．