Question

（2012•海南）如圖，頂點(diǎn)為P（4，-4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），點(diǎn)A在該圖象上，OA交其對(duì)稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，連接AN、ON，
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)A在對(duì)稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)解答下面問題：
①證明：∠ANM=∠ONM；
②△ANO能否為直角三角形？如果能，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，再由二次函數(shù)過原點(diǎn)，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入設(shè)出的解析式中，確定出a的值，即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）①過A作AH垂直于直線l，直線l與x軸交于點(diǎn)D，由A在二次函數(shù)圖象上，設(shè)A橫坐標(biāo)為m，將x=m代入二次函數(shù)解析式，表示出縱坐標(biāo)，確定出A的坐標(biāo)，再由O的坐標(biāo)，表示出直線AO的解析式，進(jìn)而表示出M，N及H的坐標(biāo)，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ANM，化簡(jiǎn)后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得證；
②△ANO能為直角三角形，理由為：分三種情況考慮：若∠ONA為直角，由①得到∠ANM=∠ONM=45°，可得出三角形AHN為等腰直角三角形，得到AH=HN，將表示出的AH及HN代入，得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值為0或4±

2

，進(jìn)而得到此時(shí)A與P重合，不合題意，故∠ONA不能為直角；若∠AON為直角，利用勾股定理得到OA²+ON²=AN²，由A的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出OA²，由OD及DN，利用勾股定理表示出ON²，由AH及HN，利用勾股定理表示出AN²，代入OA²+ON²=AN²，得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值為4±4

2

或0，然后判斷∠AON是否為直角；若∠NAO為直角，則有△AMN∽△DMO∽△DON，由相似得比例，將各自的值代入得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值為4，此時(shí)A與P重合，故∠NAO不能為直角，綜上，點(diǎn)A在對(duì)稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ANO不能為直角三角形．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-4），
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-4）²-4，
又二次函數(shù)過（0，0），
∴0=a（0-4）²-4，解得：a=

1

4

，
∴二次函數(shù)解析式為y=

1

4

（x-4）²-4=

1

4

x²-2x；
（2）①證明：過A作AH⊥l于H，l與x軸交于點(diǎn)D，如圖所示：

設(shè)A（m，

1

4

m²-2m），又O（0，0），
∴直線AO的解析式為y=

1 4 m2-2m

m

x=（

1

4

m-2）x，
則M（4，m-8），N（4，-m），H（4，

1

4

m²-2m），
∴OD=4，ND=m，HA=m-4，NH=ND-HD=

1

4

m²-m，
在Rt△OND中，tan∠ONM=

OD

DN

=

4

m

，
在Rt△ANH中，tan∠ANM=

HA

HN

=

m-4

1 4 m2-m

=

4(m-4)

m(m-4)

=

4

m

，
∴tan∠ONM=tan∠ANM，
則∠ANM=∠ONM；
②△ANO能為直角三角形，理由如下：
分三種情況考慮：
（i）若∠ONA為直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°，
∴△AHN為等腰直角三角形，
∴HA=NH，即m-4=

1

4

m²-m，
整理得：m²-8m+16=0，即（m-4）²=0，
解得：m=4，
此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，故不存在A點(diǎn)使△ONA為直角三角形；
（ii）若∠AON為直角，根據(jù)勾股定理得：OA²+ON²=AN²，
∵OA²=m²+（

1

4

m²-2m）²，ON²=4²+m²，AN²=（m-4）²+（

1

4

m²-2m+m）²，
∴m²+（

1

4

m²-2m）²+4²+m²=（m-4）²+（

1

4

m²-2m+m）²，
整理得：m（m²-8m-16）=0，
解得：m=0或m=4+4

2

或4-4

2

（舍去），
當(dāng)m=0時(shí)，A點(diǎn)與原點(diǎn)重合，故∠AON不能為直角，
當(dāng)m=4+4

2

，即A（4+4

2

，4）時(shí)，N為第四象限點(diǎn)，成立，故∠AON能為直角；
（iii）若∠NAO為直角，可得∠NAM=∠ODM=90°，且∠AMN=∠DMO，
∴△AMN∽△DMO，
又∠MAN=∠ODN=90°，且∠ANM=∠OND，
∴△AMN∽△DON，
∴△AMN∽△DMO∽△DON，
∴

MD

OD

=

OD

ND

，即

8-m

4

=

4

m

，
整理得：（m-4）²=0，
解得：m=4，
此時(shí)A與P重合，故∠NAO不能為直角，
綜上，點(diǎn)A在對(duì)稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ANO能為直角三角形，當(dāng)m=4+4

2

，即A（4+4

2

，4）時(shí)，N為第四象限點(diǎn)，成立，故∠AON能為直角．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)坐標(biāo)確定一次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，本題（2）中的第②小問利用的是反證法，先假設(shè)結(jié)論成立，利用邏輯推理的方法得出與已知條件，定理，公理矛盾，可得出假設(shè)錯(cuò)誤，原結(jié)論不成立．