Question

11．如圖，拋物線y=x²-mx+n經(jīng)過點A（-1，0），與x軸的另一個交點是B（B在A的右側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的對稱軸EF交x軸于點E，點C關(guān)于EF的對稱點是點D．
（1）n=-m-1（用含m的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)點E是OA中點時，求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)以點A，C，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形時，求m的值．
（4）連結(jié)AC、CE，當(dāng)△ACE的面積是$\frac{1}{2}$時，直接寫出m的值．

Answer 1

分析 （1）把點A（-1，0）代入拋物線y=x²-mx+n，即可用含m的代數(shù)式表示n；
（2）根據(jù)拋物線對稱軸公式可得拋物線的對稱軸是x=$\frac{m}{2}$，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得gym的方程，解方程即可求得m的值，從而得到該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分兩種情況：①當(dāng)m＞0時，②當(dāng)-2＜m＜0時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求m的值；
（4）分兩種情況：①當(dāng)m＞-1時，②當(dāng)-2＜m＜-1時，根據(jù)三角形面積公式可求m的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-mx+n經(jīng)過點A（-1，0），
∴1+m+n=0，
∴n=-m-1；
（2）拋物線y=x²-mx-m-1的對稱軸是x=$\frac{m}{2}$．                                
AE=$\frac{m}{2}$+1．
∵點E是OA中點，
∴AE=$\frac{m}{2}$+1=$\frac{1}{2}$．
∴m=-1．                                                               
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x²+x．                                   
（3）①當(dāng)m＞0時，如圖①，

∵拋物線y=x²-mx-m-1的對稱軸是x=$\frac{m}{2}$，
∴CD=m，AE=$\frac{m}{2}$+1．
∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴m=$\frac{m}{2}$+1，
∴m=2；
②當(dāng)-2＜m＜0時，如圖②，CD=-m，AE=$\frac{m}{2}$+1．

∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴-m=$\frac{m}{2}$+1．                                                     
∴m=-$\frac{2}{3}$；                                                            
（4）m=0．解題過程如下：
①當(dāng)m＞-1時，如圖③，

S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•OC
=$\frac{1}{2}$（$\frac{m}{2}$+1）（m+1）
=$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{4}$m+$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{4}$m+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
解得m₁=0，m₂=-3（不合題意，舍去）．
∴m=0．
②當(dāng)-2＜m＜-1時，如圖④，

S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•OC
=$\frac{1}{2}$（$\frac{m}{2}$+1）（-m-1）
=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m-$\frac{1}{2}$．
∴-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
即m²+3m+4=0，
△=b²-4ac=9-16=-7＜0，
∴此方程沒有實數(shù)根．
綜上所述，當(dāng)m=0時，△ACE的面積是$\frac{1}{2}$．
故答案為：-m-1．

點評 考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線對稱軸公式，中點坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，平行四邊形的性質(zhì)，三角形面積的知識點，同時涉及方程思想和分類討論思想的應(yīng)用．