Question

20．如圖，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）與直線y=-$\frac{1}{2}$x+4相交于A，B兩點．
（1）當k=6時，求點A，B的坐標；
（2）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的同一支上有三點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀），請你借助圖象，直接寫出y₀與$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$的大小關系．

Answer 1

分析 （1）將y=$\frac{6}{x}$與y=-$\frac{1}{2}$x+4聯(lián)立，組成方程組，解方程組即可求解；
（2）根據(jù)中點坐標的意義，可知（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）是線段MN的中點，結合圖象，分兩種情況進行討論：①點M、N、P都在第一象限；②點M、N、P都在第三象限．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=6}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
所以點A的坐標為（2，3），點B的坐標為（6，1）；

（2）∵在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的同一支上有三點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀），
而（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）是線段MN的中點，
∴可分兩種情況進行討論：
①如果點M、N、P都在第一象限，那么y₀＜$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$；
②如果點M、N、P都在第三象限，那么y₀＞$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了線段的中點坐標公式以及數(shù)形結合的思想．