如圖，拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于A、B．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若直線y=kx-1（k≠0），將四邊形ABCD面積二等分，求k的值．
（3）設(shè)（2）中直線y=kx-1（k≠0）分別交x軸、y軸于E、F，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△AEF與△PEF面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題
專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題
分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)求出點(diǎn)B、D的坐標(biāo)，可知四邊形ABCD是等腰梯形，再根據(jù)二等分梯形面積的直線必過連接兩底邊中點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，然后求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線即可求出k值；
（3）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得點(diǎn)P在到EF的距離等于點(diǎn)A到EF距離相等的直線上，然后求出點(diǎn)P所在的直線，與拋物線聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，2），
∴
a+3a+b=0
9a-3×3a+b=2
，
解得
a=-
1
2
b=2
，
∴拋物線的解析式為y=-
1
2
x2+
3
2
x+2；

（2）令x=0，則y=2，；
令y=0，則-
1
2
x2+
3
2
x+2=0，
整理得，x2-3x-4=0，
解得，x1=-1，x2=4，
所以，點(diǎn)D（0，2），點(diǎn)B（4，0），
∵A（-1，0），C（3，2），
∴AB∥CD，且AD=BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
連接兩底邊中點(diǎn)的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（
3
2
，1），
∵直線y=kx-1（k≠0），將四邊形ABCD面積二等分，
∴直線必過點(diǎn)（
3
2
，1），
∴
3
2
k-1=1，
解得k=
4
3
；

（3）存在．理由如下：
由（2）得，直線解析式為y=
4
3
x-1，
令y=0，則
4
3
x-1=0，解得x=
3
4
，
所以，點(diǎn)E（
3
4
，0），
∵△AEF與△PEF面積相等，
∴點(diǎn)P在過點(diǎn)A且與直線EF平行的直線上，或在過點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)且與直線EF平行的直線上，
①點(diǎn)P在過點(diǎn)A且與直線EF平行的直線上時(shí)，設(shè)直線的解析式為y=
4
3
x+b1，
則
4
3
×（-1）+b1=0，
解得b1=
4
3
，
所以，直線的解析式為y=
4
3
x+
4
3
，
聯(lián)立
y=
4
3
x+
4
3
y=-
1
2
x2+
3
2
x+2
，
解得
x1=-1
y1=0
（舍去），
x2=
4
3
y2=
28
9
，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（
4
3
，
28
9
），
②∵
3
4
×2-（-1）=
5
2
，
∴點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)A′為（
5
2
，0），
設(shè)直線的解析式為y=
4
3
x+b2，
則
4
3
×
5
2
+b2=0，
解得b2=-
10
3
，
所以，直線解析式為y=
4
3
x-
10
3
，
聯(lián)立
y=
4
3
x-
10
3
y=-
1
2
x2+
3
2
x+2
，
解得
x1=
1+
385
6
y1=
-28+
385
9
，
x2=
1-
385
6
y2=
-28-
385
9
，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（
1+
385
6
，
-28+
385
9
）或（
1-
385
6
，
-28-
385
9
），
綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)P（
4
3
，
28
9
）或（
1+
385
6
，
-28+
385
9
）或（
1-
385
6
，
-28-
385
9
），使得△AEF與△PEF面積相等．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，等底等高的三角形的面積相等的性質(zhì)，（2）明確二等分梯形的直線必過連接兩底邊中點(diǎn)的線段的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，也是求解本題的突破口．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將正偶數(shù)按下表排成5列
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
第4行 32 30 28 26
… …
根據(jù)上面排列的規(guī)律，2012應(yīng)排在（　�。�
A、第502行第1列
B、第250行第5列
C、第251行第4列
D、第252行第3列

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板ADE如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連接BE、EC．
下列判斷正確的有（　�。�
①△ABE≌△DCE；②BE=EC；③BE⊥EC；④EC=
5
DE．
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)E（x1，y1）、F（x2，y2）為拋物線y=ax2+bx+c上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)E、F分別作x軸的垂線，分別交x軸于點(diǎn)B、D，交直線y=2ax+b于點(diǎn)A、C，設(shè)S為直線AB、CD與x軸、直線y=2ax+b所圍成圖形的面積．
（1）當(dāng)a=1，b=-2，c=3時(shí)，計(jì)算：①當(dāng)x1=3，x2=5時(shí)，求y1、y2、S；②當(dāng)x1=-2，x2=-1時(shí)，求y1、y2、S；通過以上的計(jì)算，猜想S與y1-y2的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c在x軸上方，且點(diǎn)E（x1，y1）、F（x2，y2）在拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸的同側(cè)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)）時(shí)（如圖1），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明你的判斷．
（3）如果將（2）中的“同側(cè)”改為“異側(cè)”（如圖2），其他條件不變，并設(shè)M為直線y=2ax+b與x軸的交點(diǎn)，S1=S△AMB，S2=S△CMD，求S1、S2與y1、y2的數(shù)量關(guān)系（直接寫出答案）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正整數(shù)按如圖規(guī)律排列，則第30行第21列的數(shù)字為：
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為12的等邊三角形，點(diǎn)P是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，過P分別作邊BC，CA，AB的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)．已知PD：PE：PF=1：2：3，那么四邊形BDPF的面積是
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

3
-
(-3)2
+|
3
-2|．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知數(shù)M的平方根是a+5及-3a+11，求M．
（2）已知5+
11
與5-
11
的小數(shù)部分分別是a、b，求3a+2b的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)一個(gè)凸多邊形的邊數(shù)為奇數(shù)，除去兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角和為2390°，則除去的這兩內(nèi)角的度數(shù)和為（　�。�
A、130°B、300°
C、310°D、490°

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同步練習(xí)冊(cè)答案