Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.
（Ⅰ)探究新知：
如圖①⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點(diǎn)E、F、G..
（1）求證內(nèi)切圓的半徑r₁="1;"
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）結(jié)論應(yīng)用
（1）如圖②若半徑為r₂的兩個等圓⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O₂與BC、AB相切，求r₂的值；
（2）如圖③若半徑為r_n的n個等圓⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O_n與BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n均與AB相切，求r_n的值.

Answer 1

（Ⅰ)探究新知（1）證明見解析（2）1/2（Ⅱ）結(jié)論應(yīng)用（1）（2）

解：（Ⅰ）（1）證明：在圖①中，連接OE，OF。

∵點(diǎn)E、F、G是⊙O的切點(diǎn)
∴四邊形CEOF是正方形， CE=CF=r₁。
又∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AG=AE=3－r₁，BG=BF=4－r₁，AG+BG=5。
∴（3－r₁）＋（4－r₁）=5，解得r₁=1。
（2）連接OG，OA在Rt△AOG中，∵OG=r₁=1， AG= 3－r₁=2，
∴tan∠OAG=。
（Ⅱ）
（1）連接O₁A、O₂B，作O₁D⊥AB交于點(diǎn)D、O₂E⊥AB交于點(diǎn)E。
則 AO₁、BO₂分別平分∠CAB、∠ABC。
由（Ⅰ）tan∠OAG=，知tan∠O₁AD=，
同理可得：tan∠O₂BE=。           
∴AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂。
∵AD＋DE＋BE=5，∴。
（2）如圖③，
連接O₁A、O_nB，作O₁D⊥AB交于點(diǎn)D、O₂E⊥AB交于點(diǎn)E、…、O_nF⊥AB交于點(diǎn)F。則AO₁、BO₂分別平分∠CAB、∠ABC。
tan∠O₁AD=，tan∠O_nBF=,
∴AD=2r_n，DE=2r_n，…,FB=3r_n。
又∵AD+DE+…+FB=5，2r_n+2r_n+…+3r_n=5，即(2n+3) r_n=5，
∴。
（Ⅰ）（1）由切線的性質(zhì)可得四邊形CEOF是正方形，從而由AG=AE=3－r₁，BG=BF=4－r₁，AG+BG=5可證得內(nèi)切圓的半徑r₁=1。
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)定義直接求得。
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）的結(jié)論得tan∠O₁AD=，同理可推得tan∠O₂BE=，從而由AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂和AD＋DE＋BE=5可求得r₂的值。
（2）由（Ⅱ）（1）有tan∠O₁AD=，tan∠O_nBF=,從而由AD=2r_n，DE=2r_n，…,FB=3r_n和AD+DE+…+FB=5，2r_n+2r_n+…+3r_n=5可求得r_n的值。