Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，BD⊥DC，E為BC中點，連接DE．
（1）求證：四邊形ABED為菱形；
（2）求梯形ABCD的面積．

Answer 1

證明：（1）∵BD⊥DC，E為BC中點，∴BE=ED=EC，∴∠DBE=∠BDE；
又AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，∴∠ADB=∠BDE，
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB
∴∠BDE=∠ABD∴DE∥AB
又∵AD∥BC，即AD∥BE，
∴四邊形ABCD為平行四邊形
又AB=AD，∴平行四邊形ABCD為菱形．
（2）由（1）得，BE=EC=AD=DE，又∵AD=DC，
∴DE=EC=DC，∴△DEC為等邊三角形．
作DF⊥BC于F，則，
BC=2BE=2AD=8，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）×DF=×（4+8）×2=12．
分析：（1）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再由AB=AD，可得出平行四邊形ABCD為菱形；（2）由（1）得，BE=EC=AD=DE，AD=DC，DE=EC=DC，可得出△DEC為等邊三角形，由此基礎上求出BC的長即可求出梯形的面積．
點評：本題考查了菱形的判定及梯形的面積公式，難度較大，關鍵綜合全面的掌握各類圖形的性質(zhì)及判定做題時融會貫通．