Question

12．已知線段AB上兩點(diǎn)C、D，AB=10cm，AC=4cm，BD=2cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q從B出發(fā)到達(dá)點(diǎn)A后返回點(diǎn)B．P、Q兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)Q到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，PA=$\frac{1}{3}$PC．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．
（1）求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）是否存在某一時(shí)間t，使PQ=4cm？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先由PA=$\frac{1}{3}$PC，及PA+PC=AC=4cm，求出PA=1cm，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即為點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，又點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為BD的長(zhǎng)度，根據(jù)速度=路程÷時(shí)間即可求解；
（2）先由點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度及路線，可得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)10秒到達(dá)點(diǎn)B，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是10秒；同樣求出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)5秒到達(dá)點(diǎn)A，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間是10秒；P，Q兩點(diǎn)在線段AB上相遇時(shí)間是：10÷（1+2）=$\frac{10}{3}$（秒），再分三種情況進(jìn)行討論：①0≤t≤$\frac{10}{3}$；②$\frac{10}{3}$＜t≤5；③5＜t≤10．

解答 解：（1）∵PA=$\frac{1}{3}$PC，
∴PC=3PA，
∵PA+PC=AC=4cm，
∴PA+3PA=4cm，
∴PA=1cm，
∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度是每秒1cm，
∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間是：1÷1=1（秒），
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是：2÷1=2（cm/s）；

（2）∵點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，AB=10cm，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)10秒到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間是10秒；
∵點(diǎn)Q從B出發(fā)到達(dá)點(diǎn)A后返回點(diǎn)B，AB=10cm，
∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)5秒到達(dá)點(diǎn)A，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間是10秒；
∵P，Q兩點(diǎn)在線段AB上相遇時(shí)間是：10÷（1+2）=$\frac{10}{3}$（秒），
∴當(dāng)PQ=4cm時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)0≤t≤$\frac{10}{3}$時(shí)，（1+2）t=10-4，解得t=2；
②當(dāng)$\frac{10}{3}$＜t≤5時(shí)，（1+2）t=10+4，解得t=$\frac{14}{3}$；
③當(dāng)5＜t≤10時(shí)，2t+4=t+10，解得t=6．
答：存在某一時(shí)間t，能夠使PQ=4cm，此時(shí)t的值為2秒或$\frac{14}{3}$秒或6秒．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用及數(shù)軸，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．進(jìn)行正確分類是本題的難點(diǎn)．