Question

如圖，拋物線y=（x+1）²+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）

（1）求拋物線的對稱軸及k的值；

（2）拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA+PC的值最小，求此時點P的坐標；

（3）點M是拋物線上的一動點，且在第三象限．

①當M點運動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標；

②當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點的坐標．

Answer 1

    解：（1）∵拋物線y=（x+1）²+k與y軸交于點C（0，﹣3），

∴﹣3=1+k，

∴k=﹣4，

∴拋物線的解析式為：y=（x+1）²﹣4，

∴拋物線的對稱軸為：直線x=﹣1；

（2）存在．

連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，

當y=0時，（x+1）²﹣4=0，

解得：x=﹣3或x=1，

∵A在B的左側，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

設直線AC的解析式為：y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣3，

當x=﹣1時，y=﹣（﹣1）﹣3=﹣2，

∴點P的坐標為：（﹣1，﹣2）；

（3）點M是拋物線上的一動點，且在第三象限，

∴﹣3＜x＜0；

①設點M的坐標為：（x，（x+1）²﹣4），

∵AB=4，

∴S_△AMB=×4×|（x+1）²﹣4|=2|（x+1）²﹣4|，

∵點M在第三象限，

∴S_△AMB=8﹣2（x+1）²，

∴當x=﹣1時，

即點M的坐標為（﹣1，﹣4）時，△AMB的面積最大，最大值為8；

②設點M的坐標為：（x，（x+1）²﹣4），

過點M作MD⊥AB于D，

S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD=×3×1+×（3+x）×[4﹣（x+1）²]+×（﹣x）×[3+4﹣（x+1）²]

=﹣（x²+3x﹣4）=﹣（x+）²+，

∴當x=﹣時，y=（﹣+1）²﹣4=﹣，

即當點M的坐標為（﹣，﹣）時，四邊形AMCB的面積最大，最大值為．